Двоичный код в восьмеричный. Правила переводов десятичных чисел в них и обратно
2.3. ВОСЬМЕРИЧНЫЕ ЧИСЛА
Восьмеричная запись, как и шестнадцатеричная, используется для представления двоичных чисел. Восьмеричная система содержит 8 цифр от 0 до 7 и является соответственно системой с основанием 8. В табл. 2.7 представлено несколько десятичных, восьмеричных и двоичных чисел.
Преобразуем двоичное число 11111000100 в его восьмеричный эквивалент. Процедура действий в этом случае следующая. Начиная с МБ двоичного числа, делим его на группы из 3 бит. Затем, используя табл. 2.7, преобразуем каждую триаду (группу из 3 бит) в эквивалентную восьмеричную цифру. Таким образом, мы заменим двоичное число 11111000100 его восьмеричным эквивалентом 37048:
Двоичное число 011 111 000 100
Восьмеричное число 3 7 0 4
Преобразуем теперь восьмеричное число 6521 в его двоичный эквивалент. Каждая восьмеричная цифра заменяется двоичной триадой и получится, что 65218= 110101010001 2".
Запишем восьмеричное число 2357 в десятичной форме. Классическая процедура выполняется согласно табл. 2.8. Здесь 512, 64, 8 и 1 есть веса четырех первых восьмеричных позиций. Заметим, что в этом примере содержится 7 единиц, 5 восьмерок, 4 числа 64 и два числа 521. Мы их складываем и получаем результат: 1024+192+40+7= 1263 10.
Наконец, преобразуем десятичное число 3336 в его восьмеричный эквивалент. Процедура показана на рис. 2.3. В первую очередь 3336 разделено на 8, что дает частное 417 и остаток 0 10, причем 0 10=08, восьмеричный 0 становится значением MP восьмеричного числа. Первое частное (417) становится делимым и снова делится на 8 (вторая строка), что дает частное 52 и остаток 110=18, который становится второй цифрой восьмеричного числа. В третьей строке частное (52) становится делимым и деление его на 8 дает частное 6 и остаток 4 10=48. В четвертой строке последнее частное 6 разделено на 8 с частным 0 и остатком 6 10=68.
Теперь счет закончен последним частным 0. Цифра 68 становится значением CP восьмеричного числа, и мы можем видеть на рис. 2.3, что 3336ю=64108.
Большинство микропроцессоров и микро-ЭВМ обрабатывают группы из 4, 8 или 16 бит. Отсюда следует, что обычно чаще используется шестнадцатеричная запись, чем восьмеричная. Однако восьмеричная запись более удобна, когда группы бит делятся на 3 (например, группы из 12 бит).
Упражнения
2.18. Для представления двоичных чисел текст документации 8-разрядного микропроцессора использует _
(шестнадцатеричную, восьмеричную) систему.
2.19. Другим названием восьмеричной системы является
2.20. Записать следующие восьмеричные числа в двоичном коде: а) 3; б) 7; в) 0; г) 7642; д) 1036; е) 2105.
2.21. Записать следующие двоичные числа в восьмеричном коде: а) 101; б) 110; в) 010; г) 111000101010; д) 1011000111; е) 100110100101.
2.22. 67248=_____10.
2.23. 2648 10=____8.
2.18. Шестнадцатеричную, при которой удобно представить двоичное число двумя 4-разрядными группами. 2.19. Система с основанием 8. 2.20. а) 38=0112; б) 78=1112; в) 08 = 0002; г) 76428= 1111101000102;
д) 10368= 10000111102; е) 21058= 100010001012. 2.21. а) 1012=58; б) 1102=68; в) 0102=28; г) 1110001010102 = 70528; д) 10110001112= 13078;
е) 1001101001012 = 46458. 2.22. Согласно процедуре табл. 2.8: 67248= = (512Х6) + (64х7) + (8х2) + (1Х4)=3540 10. 2.23. Согласно процедуре рис. 2.3:
2648 10: 8 = 331, остаток 0 (MP); 331: 8= 41, остаток 3; 41: 8= 5, остаток 1; 5: 8= 0, остаток 5 (CP); 2648 10=51308.
Восьмеричная система счисления
Позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7.
Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
Шестнадцатеричная система счисления
(шестнадцатеричные числа) -- позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 10 до 15 10 , то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
Правила переводов десятичных чисел в них и обратно
·
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.
Преобразование методом Горнера
Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.
Преобразование десятичных чисел в двоичные
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:
- 19 /2 = 9 с остатком 1
- 9 /2 = 4 c остатком 1
- 4 /2 = 2 с остатком 0
- 2 /2 = 1 с остатком 0
- 1 /2 = 0 с остатком 1
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в делимом не будет 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.
Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные
Нужно перевести число 1011010.101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
- · Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
- · Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
- · В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
- · Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 206 10 =11001110 2 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
- 116 * 2 = 0.232
- 232 * 2 = 0.464
- 464 * 2 = 0.928
- 928 * 2 = 1.856
- 856 * 2 = 1.712
- 712 * 2 = 1.424
- 424 * 2 = 0.848
- 848 * 2 = 1.696
- 696 * 2 = 1.392
- 392 * 2 = 0.784
Получим: 206,116 10 =11001110,0001110110 2
· Преобразование восьмеричных чисел в десятичные.
Алгоритм перевода чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления аналогичен уже рассматривавшему мною в разделе: Преобразование двоичных чисел в десятичные.
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет двоичных цифр.
Пример: 2541 8 = 010 101 100 001 = 010101100001 2
Существует таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные
· Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные.
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.
Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:
5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16І= 3·1+10·16+5·256= 3+160+1280= 1443 10
Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.
Например:
010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16
Таблица перевода чисел
Для записи каждой цифры восьмеричной с.с. требуется максимум 3 разряда.
Алгоритм перевода из 2-ой в 8-ую систему счисления
При переводе из 2-ой в 8-ую систему счисления надо число разбить на триады (по три разряда) и записать каждую триаду эквивалентным двоичным кодом, недостающее число разрядов надо дополнить слева нулями.
100111101 2 = 100 111 101 2 =475 8
1100010 2 = 001 100 010 2 =142 8
Алгоритм перевода из 8-ой в 2-ую
Для перевода из 8-ой в 2-ую используется обратное правило.
Каждую цифру 8-ого числа надо записать тремя разрядами соответствующего ей двоичного кода
Перевод из 8-ой в 2-ую |
563 8 = 101110011 2 |
Перевод из 8-ой в 10-ую |
563 8 = 5*8 2 + 6*8 1 + 3*8 0 = 512+ 40 + 7 = 371 10 |
9 Шестнадцатеричная система счисления. Запись чисел в шестнадцатеричной системе счисления. Привести примеры.
В шестнадцатеричной системе счисления основание системы равно 16, т.е. для записи чисел используется 16 символов: цифры от 0 до 9 и далее буквы латинского алфавита от AдоF
Ниже представлена таблица соответствия кодов чисел четырех систем счисления.
Для записи 1 цифры шестнадцатеричного числа в двоичной системе счисления требуется 4 разряда.
Алгоритм перевода чисел из 2-ой в 16-ую систему счисления
При переводе чисел из 2-ой в 16-ую систему счисления надо число разбить на тетрады (по четыре разряда) и записать каждую тетраду эквивалентным двоичным кодом, недостающее число разрядов надо дополнить слева нулями.
Примеры:
1001 1110 2 = 9E 16
0010 0010 2 = 22 16
Алгоритм перевода чисел из 16-ой в 2-ую
Для перевода из 16-ой в 2-ую используется обратное правило.
Каждую цифру шестнадцатеричного числа надо записать четырьмя разрядами соответствующего ей двоичного кода
Перевод из 16-ой в 2-ую |
173 16 = 101110011 2 |
Перевод из 16-ой в 10-ую |
173 16 = 1*16 2 + 7*16 1 + 3*16 0 = 256 + 112 + 3 = 371 10 |
10 Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему счисления. Привести примеры.
Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.
Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
В двоичную В восьмеричную В шестнадцатеричную
: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Арифметические основы цифровой техники.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Представление чисел в различных системах счисления.
Для преставления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позиционные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа:
Здесь , , …обозначают цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой части числа, , … - цифры первого, второго и т.д. разрядов дробной части числа.
Цифре разряда приписан вес , где – основание системы счисления; – номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:
Для представления цифр разрядов используется набор из различных символов. Так, при (т.е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2, …, 9. При этом запись (здесь и далее индекс и при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:
,
Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления.
В двоичной системе счисления основание системы счисления р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1. Следовательно, в двоичной системе счисления представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 11011,1012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:
Весовые коэффициенты разрядов
В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2, …, 7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи в десятичной системе счисления соответствует следующее число:
,
Весовые коэффициенты
разрядов
т.е. запись означает число, содержащее семь раз по , три раза по , пять раз по , четыре раза по , шесть раз по .
В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1, 2, …, 9, А, B, C, D, E, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствуют 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.
Запись соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:
Весовые коэффициенты разрядов
Для хранения n -разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройства, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут использовать устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.
При хранении десятичных чисел каждая цифра десятичного числа представляется в двоичной форме. Такая форма представления чисел называется двоично-кодированной десятичной системой . Например, число в двоично-кодированной десятичной системе представляется в следующем виде:
Следует заметить, что несмотря на внешнее сходство двоично-кодированного десятичного числа, содержащего в разрядах лишь цифры 0 и 1, с двоичным числом, первое не является двоичным. В этом легко убедиться. Например, если целую часть приведенной выше записи рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную форму означало бы , что не совпадает с целой частью исходного числа 765.
Рассмотренный способ двоичного представления (кодирования) десятичных цифр использует так называемый код 8421 (название кода составлено из весовых коэффициентов разрядов двоичного числа). Наряду с этим кодом при двоичном кодировании десятичных цифр используются различные другие коды, наиболее употребительные из которых приведены в табл. 2.1.
Для представления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позиционные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов):
… a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 …
Здесь a 0 , a 1 , . . . обозначают цифры нулевого, первого и других разрядов числа.
Цифре разряда приписан вес p k где р - основание системы счисления; k - номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:
N = …+ a 5 × p 5 + a 4 × p 4 + a 3 × p 3 + a 2 × p 2 + a 1 × p 1 + a 0 × p 0 + …
Для представления цифр разрядов используется набор из p различных символов. Так, при р = 10 (т. е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2 ….. 9. При этом запись 729324 10 (здесь и далее индекс при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:
Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р , можно строить разнообразные системы счисления.
В двоичной системе счисления
основание системы счисления р
= 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1.
Следовательно, в двоичной системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 1011101 2 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:
В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2,…,7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи 735460 8 в десятичной системе счисления соответствует следующее число:
т. е. запись 735460 8 означает число, содержащее семь раз по 8 5 = 32768, три раза по 8 4 = 4096, пять раз по 8 3 = 512, четыре раза по 8 2 = 64, шесть раз по 8 1 = 8 и ноль раз по 8 0 = 1.
В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1,2…..9, А, В, С, D, Е, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствует 10, В – 11, С – 12, D – 13, Е – 14, F – 15.
Запись AB9C2F 16 соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:
Для хранения n -разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройства, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут использоваться устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.
Похожие статьи
-
Мытарства души после смерти: что происходит после смерти
Понимание посмертной жизни души очень важно для каждого верующего религиозного человека. Ответив на вопрос, что нас ждет после смерти, что такое душа, мы понимаем, что такое человек и как нужно жить, чтобы не погибнуть для вечности....
-
Штомпка анализ современных обществ
Теория структурации Э. Гидденса послужила в определенной мере толчком для появления в 1990-х гг. работ польского социолога Петра Штомпки (ныне президента Международной социологической ассоциации), посвященных комплексному и целостному...
-
Поиск презентаций. это будет их проект
Презентация: Творческий проект с использованием ученика 1-5 класса МОУ Гимназии 26 Девяткина Дмитрия «Правила поведения младшего школьника при чрезвычайных ситуациях.» Творческий проект с использованием ученика 1-5 класса МОУ Гимназии 26...
-
Когда наступает Новый год Свиньи по китайскому календарю?
Восточная культура и китайские традиции прочно прижились в нашей повседневной жизни, стали и нашими привычками и традициями. Праздновать Новый год по-восточному сегодня стали многие люди, другие же хоть и не празднуют, но какое животное...
-
Сочинение по картине К.Ф.Юона На тему: «Весенний солнечный день. Описание картины К. Юона "Весенний солнечный день" Весенний солнечный день небо
К. Ф. Юон является замечательным и талантливым мастером живописи, которому удалось создать множество примечательных картин. Особое внимание уделялось художником написанию природных особенностей родного края, которые изображены на его...
-
Крымский гуманитарный университет (КГУ)
г.Ялта, пгт. Массандра, ул. Стахановская, 11 Становление и развитие современной кафедры педагогики и управления учебными заведениями начинается с деятельности цикловой комиссии при Ялтинском педагогическом училище. В 1994 году одновременно...