Парадоксы формальной логики и логические ошибки.

ЕЩЕ ПРИМЕРЫ В «Исторических материалах» Козьмы Пруткова повествуется о герцоге де Рогане, которому врач прописал принимать особое лекарство по двадцать капель в воде. Когда на другой день врач зашел к больному, тот сидел в холодной ванне н спокойно пил ложечкой

Примеры сведений Возьмём теперь все модусы второй, третьей и четвёртой фигур, и сведём их по очереди к первой фигуре.Фигура 2. Модус Cesare П1: Ни один зомби не является вегетарианцем. (Е) П2: Все участники ru_vegetarian (http://ru_vegetarian.livejournal.com/) - вегетарианцы. (А) З: Ни один участник

Глава 6 Примеры Исторические примеры все делают ясным и, кроме того, представляют собой самое лучшее доказательство в науках, исходящих из опыта. Более, чем где-либо, это наблюдается в военном искусстве.Генерал Шарнхорст, который в своем «Спутнике» лучше всех писал о

3. Примеры Когда в 1814 г. союзники заняли столицу Бонапарта, цель войны была достигнута. Начали сказываться политические расслоения, базой которых являлся Париж, и огромная трещина вызвала крушение мощи императора. Все это надлежит рассматривать с той точки зрения, что с

ПРИМЕРЫ ПЕРВОБЫТНЫЕ НАРОДЫ Куда ушла моя душа?Вернись назад, вернись.Она забралась далеко на Юг,Южнее самых южных нам племён.Вернись назад, вернись.Куда ушла моя душа?Вернись назад, вернись.Она забралась далеко на Восток,Восточней самых восточных нам племён.Вернись

3. Факты как примеры Эмпирические данные могут использоваться в ходе аргументации в качестве примеров, иллюстраций и образцов. Выступая в качестве примера факт или частный случай делает возможным обобщение; в качестве иллюстрации он подкрепляет уже установленное

1. Введение в курс логики В своем развитии человечество прошло длинный путь – от далеких времен, когда первым представителям нашего рода приходилось ютиться в пещерах, до городов, в которых живем мы и наши современники. Такой временной разрыв не повлиял на сущность

Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.

Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определённым, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.

«Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьёзной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания», – пишет австрийский математик и логик К.Гёдель. «Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов», – утверждает математик Д.Бочвар. Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под логическим парадоксом.

Своеобразие логических парадоксов
Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь.

Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет чётких критериев деления терминов на логические и нелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределён однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и нелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удаётся определить однозначно.

Логические парадоксы не отделяются жёстко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.

На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, ещё не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введённый Б.Расселом принцип порочного круга. Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.

Все парадоксы имеют одно общее свойство – самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идёт речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек. И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путём ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.

Во всех парадоксах имеет место самоприменимость понятий, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определённости нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.

Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома железа» и т.п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведёт к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.

Простая ссылка на использование самоприменяемых понятий недостаточна, таким образом, для дискредитации парадоксов. Необходим ещё какой-то дополнительный критерий, отделяющий самоприменимость, ведущую к парадоксу, от всех иных её случаев.

Было много предложений на этот счёт, но удачного уточнения циркулярности так и не было найдено. Невозможным оказалось охарактеризовать циркулярность таким образом, чтобы каждое циркулярное рассуждение вело к парадоксу, а каждый парадокс был итогом некоторого циркулярного рассуждения.

Попытка найти какой-то специфический принцип логики, нарушение которого было бы отличительной особенностью всех логических парадоксов, ни к чему определённому не привела.

Несомненно полезной была бы какая-то классификация парадоксов, подразделяющая их на типы и виды, группирующая одни парадоксы и противопоставляющая их другим. Однако и в этом деле ничего устойчивого не было достигнуто.

Английский логик Ф.Рамсей, умерший в 1930 г., когда ему ещё не исполнилось и двадцати семи лет, предложил разделить все парадоксы на синтаксические и семантические. К первым относится, например, парадокс Рассела, ко вторым – парадоксы «Лжеца», Греллинга и др.

По мнению Рамсея, парадоксы первой группы содержат только понятия, принадлежащие логике или математике. Вторые включают такие понятия, как «истина», «определимость», «именование», «язык», не являющиеся строго математическими, а относящиеся скорее к лингвистике или даже теории познания. Семантические парадоксы обязаны, как кажется, своим возникновением не какой-то ошибке в логике, а смутности или двусмысленности некоторых нелогических понятий, поэтому поставленные ими проблемы касаются языка и должны решаться лингвистикой.

Рамсею казалось, что математикам и логикам незачем интересоваться семантическими парадоксами. В дальнейшем оказалось, однако, что некоторые из наиболее значительных результатов современной логики были получены как раз в связи с более глубоким изучением именно этих нелогических парадоксов.

Предложенное Рамсеем деление парадоксов широко использовалось на первых порах и сохраняет некоторое значение и теперь. Вместе с тем становится всё яснее, что это деление довольно-таки расплывчато и опирается по преимуществу на примеры, а не на углублённый сопоставительный анализ двух групп парадоксов. Семантические понятия сейчас получили точные определения, и трудно не признать, что эти понятия действительно относятся к логике. С развитием семантики, определяющей свои основные понятия в терминах теории множеств, различие, проведённое Рамсеем, всё более стирается.

Парадоксы и современная логика
Какие выводы для логики следуют из существования парадоксов?

Прежде всего наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о её слабости, как это может показаться.

Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших её успехов.

Первые парадоксы были открыты ещё до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.

Средневековым логикам не были известны понятия «множество» и «элемент множества», введённые в науку только во второй половине XIX в. Но чутьё на парадоксы было отточено в средние века настолько, что уже в то давнее время высказывались определённые опасения по поводу самоприменимых понятий. Простейшим их примером является понятие «быть собственным элементом», фигурирующее во многих нынешних парадоксах.

Однако такие опасения, как и вообще все предостережения, касающиеся парадоксов, не были до нашего века в должной мере систематическими и определёнными. Они не вели к каким-либо чётким предложениям о пересмотре привычных способов мышления и выражения.

Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приёмы обращения с ними.

Парадоксы ставят важный вопрос: в чём, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.

Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приёмы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надёжное продвижение к истине.

Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в её наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.

Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в её основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого её можно было бы и проглядеть.

Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и её в конце концов удаётся раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.

Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.

«За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями», – пишет А.Френкель. «Похоже на то, – заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, – что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы».

Устранение и объяснение парадоксов
Следует обратить внимание на одно важное различие.

Устранение парадоксов и их разрешение – это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории – значит перестроить её так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое её звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.

Но это ещё не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.

Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишённым твёрдых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.

Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определённая гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.

Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, «мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых».

И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.

Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?

Логическая грамматика
Один путь – это выделение наряду с истинными и ложными предложениями также бессмысленных предложений. Этот путь был принят Б.Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены им бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования логической грамматики. Не всякое предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным – оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.

Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.

Основная идея теории типов – выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, т.е. индивидов; ко второму – множества множеств индивидов и т.д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т.д. При этом вводятся определённые ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств – свойствам и т.д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.
Возьмём серию предложений:
Этот дом – красный.
Красное – это цвет.
Цвет – это оптическое явление.

В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определённый предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» – на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» – указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.

Все три предложения из приведённой серии являются, конечно, осмысленными. Они построены в соответствии с требованиями теории типов. А скажем, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. Аналогичное нарушение содержится и в предложении «Этот дом является оптическим явлением». Оба эти предложения должны быть отнесены к бессмысленным.

Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «Лжеца» и Берри простое разделение рассматриваемых объектов на типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.

Исключение парадоксов может быть достигнуто также на пути отказа от использования слишком больших множеств, подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен немецким математиком Е.Цермело, связавшим появление парадоксов с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированных так, чтобы из них не выводились известные парадоксы. Вместе с тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода из них обычных рассуждений классической математики, но без парадоксов.

Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.

Будущее парадоксов
У Г.Фреге, величайшего логика прошлого века, был, к сожалению, очень скверный характер. Кроме того, он был безоговорочен и даже жесток к своей критике современников.

Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получал признания. И вот когда известность начала приходить к нему, молодой английский логик Б.Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, и Фреге смог лишь добавить к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (позднее названное «парадоксом Рассела») и признал, что он не способен его устранить.

Однако последствия этого признания были для Фреге трагическими. Он испытал сильнейшее потрясение. И хотя ему тогда было всего 55 лет, он не опубликовал больше ни одной значительной работы по логике, хотя прожил ещё более двадцати лет. Он не откликнулся даже на оживлённую дискуссию, вызванную парадоксом Рассела, и никак не прореагировал на многочисленные предлагавшиеся решения этого парадокса.

Впечатление, произведённое на математиков и логиков только что открытыми парадоксами, хорошо выразил Д.Гильберт: «…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – этом образце достоверности и истинности – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподаёт и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?»

Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что абсолютная строгость, достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика – в том интуитивном виде, какой она имела на рубеже веков, – нуждается в глубоком пересмотре.

Прошло около века с тех пор, как началось оживлённое обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.

И вместе с тем такое состояние вряд ли кого волнует сегодня. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они всё ещё остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели своё определённое, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, – это в принципе недостижимый идеал.

Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ науки логики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами логики. Продолжая сравнение парадоксов с особо отчётливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.

От софизмов следует отличать логические парадоксы (от греч. paradoxes – «неожиданный, странный»). Парадокс в широком смысле слова – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом. Логический парадокс – это такая необычная и удивительная ситуация, когда два противоречащих суждения не только являются одновременно истинными (что невозможно в силу логических законов противоречия и исключенного третьего), но еще и вытекают друг из друга, друг друга обуславливают. Если софизм – это всегда какая-либо уловка, преднамеренная логическая ошибка, которую можно обнаружить, разоблачить и устранить, то парадокс представляет собой неразрешимую ситуацию, своего рода мыслительный тупик, «камень преткновения» в логике: за всю ее историю было предложено множество разнообразных способов преодоления и устранения парадоксов, однако ни один из них до сих пор не является исчерпывающим, окончательным и общепризнанным.

Наиболее известный логический парадокс – это парадокс «лжеца». Часто его называют «королем логических парадоксов». Он был открыт еще в Древней Греции. По преданию, философ Диодор Кронос дал обет не принимать пищи до тех пор, пока не разрешит этот парадокс и умер от голода, так ничего и не добившись; а другой мыслитель – Филет Косский впал в отчаяние от невозможности найти решение парадокса «лжеца» и покончил с собой, бросившись со скалы в море. Существует несколько различных формулировок данного парадокса. Наиболее коротко и просто он формулируется в ситуации, когда человек произносит простую фразу: Я лжец. Анализ этого элементарного и бесхитростного на первый взгляд высказывания приводит к ошеломляющему результату. Как известно, любое высказывание (в том числе и вышеприведенное) может быть истинным или ложным. Рассмотрим последовательно оба случая, в первом из которых это высказывание является истинным, а во втором – ложным.

Допустим, что фраза Я лжец истинна, т. е. человек, который произнес ее, сказал правду, но в этом случае он действительно лжец, следовательно, произнеся данную фразу, он солгал. Теперь предположим, что фраза Я лжец ложна, т. е. человек, который произнес ее, солгал, но в этом случае он не лжец, а правдолюб, следовательно, произнеся данную фразу, он сказал правду. Получается нечто удивительное и даже невозможное: если человек сказал правду, то он солгал; а если он солгал, то он сказал правду (два противоречащих суждения не только одновременно истинны, но и вытекают друг из друга).

Другой известный логический парадокс, обнаруженный в начале XX века английским логиком и философом

Бертраном Расселом, – это парадокс «деревенского парикмахера». Представим себе, что в некой деревне есть только один парикмахер, бреющий тех ее жителей, которые не бреются сами. Анализ этой незамысловатой ситуации приводит к необыкновенному выводу. Зададимся вопросом: может ли деревенский парикмахер брить самого себя? Рассмотрим оба варианта, в первом из которых он сам себя бреет, а во втором – не бреет.

Допустим, что деревенский парикмахер сам себя бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые бреются сами и которых не бреет парикмахер, следовательно, в этом случае, он сам себя не бреет. Теперь предположим, что деревенский парикмахер сам себя не бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые не бреются сами и которых бреет парикмахер, следовательно, в этом случае он сам себя бреет. Как видим, получается невероятное: если деревенский парикмахер сам себя бреет, то он сам себя не бреет; а если он сам себя не бреет, то он сам себя бреет (два противоречащих суждения являются одновременно истинными и взаимообуславливают друг друга).

Парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера» вместе с другими подобными им парадоксами также называют антиномиями (от греч. antinomia – «противоречие в законе»), т. е. рассуждениями, в которых доказывается, что два высказывания, отрицающие друг друга, вытекают одно из другого. Считается, что антиномии представляют собой наиболее крайнюю форму парадоксов. Однако довольно часто термины «логический парадокс» и «антиномия» рассматриваются как синонимы.

Менее удивительную формулировку, но не меньшую известность, чем парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера», имеет парадокс «Протагор и Эватл», появившийся, как и «лжец», еще в Древней Греции. В его основе лежит незатейливая на первый взгляд история, которая заключается в том, что у софиста Протагора был ученик Эватл, бравший у него уроки логики и риторики

(в данном случае – политического и судебного красноречия). Учитель и ученик договорились, что Эватл заплатит Протагору гонорар за обучение только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Однако по завершении обучения Эватл не стал участвовать ни в одном процессе и денег учителю, разумеется, не платил. Протагор пригрозил ему, что подаст на него в суд и тогда Эватлу в любом случае придется заплатить. «Тебя или присудят к уплате гонорара, или не присудят, – сказал ему Протагор, – если тебя присудят к уплате, ты должен будешь заплатить по приговору суда; если же тебя не присудят к уплате, то ты, как выигравший свой первый судебный процесс, должен будешь заплатить по нашему уговору». На это Эватл ему ответил: «Все правильно: меня или присудят к уплате гонорара, или не присудят; если меня присудят к уплате, то я, как проигравший свой первый судебный процесс, не заплачу по нашему уговору; если же меня не присудят к уплате, то я не заплачу по приговору суда». Таким образом, вопрос о том, должен Эватл заплатить Протагору гонорар или нет, является неразрешимым. Договор учителя и ученика, несмотря на его вполне невинный внешний вид, является внутренне, или логически, противоречивым, так как он требует выполнения невозможного действия: Эватл должен и заплатить за обучение, и не заплатить одновременно. В силу этого сам договор между Протагором и Эватлом, а также вопрос об их тяжбе представляет собой не что иное, как логический парадокс.

Отдельной группой парадоксов являются апории (от греч. aporia – «затруднение, недоумение») – рассуждения, которые показывают противоречия между тем, что мы воспринимаем органами чувств (видим, слышим, осязаем и т. п.), и тем, что можно мысленно проанализировать (проще говоря – противоречия между видимым и мыслимым). Наиболее известные апории выдвинул древнегреческий философ Зенон Элейский, который утверждал, что движение, наблюдаемое нами повсюду, невозможно сделать предметом мысленного анализа, т. е. движение можно видеть, но нельзя мыслить. Одна из его апорий называется «Дихотомия» (греч. dihotomia – «деление пополам»). Допустим, некоему телу надо пройти из пункта А в пункт В. Нет никакого сомнения в том, что мы можем увидеть, как тело, покинув один пункт, через какое-то время достигнет другого. Однако давайте не будем доверять своим глазам, которые говорят нам о том, что тело движется, и попытаемся воспринять движение не глазами, а мыслью, постараемся не увидеть его, а помыслить. В этом случае у нас получится следующее. Прежде чем пройти весь свой путь из пункта А в пункт В, телу надо пройти половину этого пути, ведь если оно не пройдет половину пути, то, конечно же, не пройдет и весь путь. Но прежде чем тело пройдет половину пути, ему надо пройти 1/4 часть пути. Однако до того, как оно пройдет эту 1/4 часть пути, ему надо пройти 1/8 часть пути; а еще раньше ему требуется пройти 1/16 часть пути, а перед этим – 1/32 часть, а прежде того – 1/64 часть, а до этого – 1/128 часть и так до бесконечности. Значит, чтобы пройти из пункта A в пункт В, телу надо пройти бесконечное количество отрезков этого пути. Возможно ли пройти бесконечность? Невозможно! Следовательно, тело никогда не сможет пройти свой путь. Таким образом, глаза свидетельствуют, что путь будет пройден, а мысль, наоборот, отрицает это (видимое противоречит мыслимому).

Другая известная апория Зенона Элейского – «Ахиллес и черепаха» – говорит о том, что мы вполне можем увидеть, как быстроногий Ахиллес догоняет и перегоняет медленно ползущую впереди него черепаху; однако мысленный анализ приводит нас к необычному заключению, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, хотя он и движется в 10 раз быстрее нее. Когда он преодолеет расстояние до черепахи, то она за это же время (ведь она тоже движется) пройдет в 10 раз меньше (так как движется в 10 раз медленнее), а именно 1/10 часть того пути, который прошел Ахиллес, и на эту 1/10 часть будет впереди него.

Когда Ахиллес пройдет эту 1/10 часть пути, то черепаха за это же время пройдет в 10 раз меньшее расстояние, т. е. 1/100 часть пути и на эту 1/100 часть будет впереди Ахиллеса. Когда он пройдет 1/100 часть пути, разделяющую его и черепаху, то она за это же время пройдет 1/1000 часть пути, все равно оставаясь впереди Ахиллеса, и так до бесконечности. Итак, мы вновь убеждаемся в том, что глаза говорят нам об одном, а мысль – о совершенно другом (видимое отрицается мыслимым).

Еще одна апория Зенона – «Стрела» – предлагает нам мысленно рассмотреть полет стрелы из одной точки пространства в другую. Наши глаза, конечно же, говорят о том, что стрела летит, или движется. Однако что будет, если мы попытаемся, отвлекаясь от зрительного впечатления, помыслить ее полет? Для этого зададим себе простой вопрос: где сейчас находится летящая стрела? Если, отвечая на данный вопрос, мы скажем, например, Она сейчас здесь, или Она сейчас тут, или Она сейчас там, то все эти ответы будут означать не полет стрелы, а как раз ее неподвижность, ведь находиться здесь, или тут, или там – означает именно покоиться, а не двигаться. Как же нам ответить на вопрос – где сейчас находится летящая стрела – таким образом, чтобы в ответе отразился ее полет, а не неподвижность? Единственно возможный в данном случае ответ должен быть таким: Она сейчас везде и нигде. Но разве возможно быть везде и нигде одновременно? Итак, при попытке помыслить полет стрелы мы натолкнулись на логическое противоречие, на нелепость – стрела находится везде и нигде. Получается, что движение стрелы вполне можно увидеть, но его нельзя помыслить, вследствие чего оно невозможно, как и любое движение вообще. Иначе говоря, двигаться, с точки зрения мысли, а не чувственных восприятий, означает – быть в некоем месте и не быть в нем одновременно, что, конечно же, невозможно.

В своих апориях Зенон столкнул на «очной ставке» данные органов чувств (говорящих о множественности, делимости и движении всего существующего, уверяющих нас, что быстроногий Ахиллес догонит медлительную черепаху, а стрела долетит до цели) и умозрение (которое не может помыслить движение или множественность объектов мира, не впадая при этом в противоречие).

Однажды, когда Зенон доказывал при стечении народа немыслимость и невозможность движения, среди его слушателей оказался не менее известный в Древней Греции философ Диоген Синопский. Ничего не говоря, он встал и начал расхаживать, полагая, что этим он лучше всяких слов доказывает реальность движения. Однако Зенон не растерялся и ответил: «Ты не ходи и руками-то не маши, а попробуй разумом разрешить сию сложную проблему». По поводу этой ситуации есть даже следующее стихотворение А. С. Пушкина:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый,

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

И действительно, видим же мы совершенно отчетливо, что Солнце движется по небу каждый день с востока на запад, а на самом-то деле оно неподвижно (по отношению к Земле). Так почему бы нам не предположить, что и другие объекты, которые мы видим движущимися, на самом деле могут быть неподвижными, и не спешить с утверждением о том, что элейский мыслитель был неправ?

Как уже отмечалось, в логике было создано много способов разрешения и преодоления парадоксов. Однако ни один из них не лишен возражений и не является общепризнанным. Рассмотрение этих способов – долгая и утомительная теоретическая процедура, которая остается в данном случае за пределами нашего внимания. Любознательный читатель сможет познакомиться с разнообразными подходами к решению проблемы логических парадоксов по дополнительной литературе. Логические парадоксы представляют собой свидетельство в пользу того, что логика, как, впрочем, и любая другая наука, является не завершенной, а постоянно развивающейся. По всей видимости, парадоксы указывают на какие-то глубокие проблемы логической теории, приоткрывают завесу над чем-то еще не вполне известным и понятным, намечают новые горизонты в развитии логики.

Парадокс - это высказывание либо рассуждение, которое доказывает как истинность , так и ложность некоторого предложения (или как его утверждение, так и его отрицание), выраженное формально-логическими средствами (посылками ), кажущимися заведомо приемлемыми (логически правильными), но приводящими к заведомо неприемлемому результату (противоречию ). Ввиду некоторой расплывчатости или относительности значения термина «доказательство» и его производных, понятие «парадокс», в свою очередь, также оказывается расплывчатым и не всегда обозначает «абсолютное» противоречие в наиболее строгом значении этого слова, то есть противоречие, в получении которого не используются никакие исходные допущения. Тем самым, понятие «парадокс» допускает многозначность, что приводит к его широкому применению в разных контекстах со следующими основными значениями:

• формально-логически правильное высказывание либо рассуждение, не согласующееся с общепринятым мнением, доминирующим убеждением, отрицающее то, что представляется «безусловно правильным» (внелогическое понимание парадокса;
• логическое противоречие, из которого невозможно найти выход (неразрешимая ситуация в рассуждении);
• высказывание либо рассуждение, содержащее два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы, что приводит к взаимоисключающим выводам, которые нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным (антиномия , определяемая в логике как наиболее резкая форма парадокса);
• высказывание либо рассуждение, приводящее к двум противоположным, но равнозначным выводам (апория );
• неявная, безвопросная форма проявления проблемной ситуации.

Особую роль парадоксы играют в логике (см. ) и науке (см. ), свидетельствуя о том, что привычные приёмы теоретического мышления сами по себе не обеспечивают надёжного продвижения к истине.

Наиболее ранняя логическая проблематизация понятия парадокса осуществляется в Античности. В наследии ряда древнегреческих философских школ имеется ряд примеров рассуждений, которые при кажущейся правильности приводят к выводам, не согласующимся с данными опыта и убеждениями здравого смысла. Парадоксы Элейской школы представляют собой рассуждения, направленные на защиту тезиса её представителей об иллюзорности движения; они не содержат логических трудностей и построены на неправильном толковании понятий времени и движения. В отличие от спекулятивных парадоксов элеатов, парадоксы Мегарской школы отражают логические проблемы. Парадокс «Лжец», приписываемый мегарику Эвбулиду из Милета (IV век до новой эры), Аристотель сформулировал в сочинении «О софистических опровержениях» (около 355 года до новой эры) в вопросительной форме: «Лжёт ли тот, кто говорит, что он лжёт?» Данный парадокс представляет собой в некоторой степени усиленный и более корректный вариант того же парадокса критского философа Эпименида Кносского (VII или VI век до новой эры): «Все критяне лжецы». Допустим, что Эпименид сказал правду. В этом случае следует признать, что действительно все критяне, в том числе и критянин Эпименид, лжецы. Но если Эпименид лжец, - значит, он говорит неправду и высказывание «Все критяне лжецы» - ложно. Допустим, что Эпименид солгал. В этом случае следует считать его высказывание ложным. Из истинности высказывания «Неверно, что все критяне лжецы» можно сделать вывод, что некоторые критяне не лгут и в их числе Эпименид, поскольку мы оцениваем единственное высказывание, произнесённое критянином в ограниченном интервале времени. Интересно, что парадокс «Лжец» произвёл настолько сильное впечатление на современников Эвбулида, что существует легенда, согласно которой некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой, а философ Диодор Кронос, дав обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдёт решение «Лжеца», умер, так и не разрешив проблему. Авторство других подобных парадоксов традиция также приписывает Эвбулиду. Так, в парадоксе «Куча» формулируется вопрос: «Если прибавлять по одному зерну, с какого момента появится куча, и значит ли это, что куча возникает в результате прибавления одного зерна?» - Одно зерно кучи не составляет. Если прибавить ещё одно зерно - это тоже не куча. Так с которого по счёту зерна начинается куча? В парадоксе «Лысый» формулируется вопрос: «Если волосы с головы выпадают по одному, с которого по счёту впотерянного волоса человек становится лысым?»

В указанных парадоксах затрагивается проблема, которую с точки зрения современной логики можно сформулировать в виде вопроса: существует ли фиксированное количество элементов, начиная с которого начинается переход из одного состояния в другое? Трудности именования, связанные с наличием в обыденном языке множества имён, недостаточно чётких по содержанию и по объёму, не позволяют решить, применимы они или уже не применимы к данному объекту. Такие парадоксы как «Спрятанный», «Покрытый», «Электра» являются разновидностями одного парадокса: Спрашивается, знает ли Электра, что Орест её брат? Конечно знает. Но Орест покрыт одеялом, и Электра не знает, что покрытый человек есть её брат. Следовательно, Электра не знает того, кого знает. Данный парадокс фиксирует наличие в обыденном языке таких логических форм, которые называются интенсиональными функциями. В данном примере - это интенсиональный контекст с предикатом «X знает, что…». Применение принципа замены имени на равнообъёмное ему имя приводит к антиномиям. Объём (экстенсионал) единичного имени «Орест» совпадает с объёмом единичного имени «этот покрытый человек» при различии содержании (интенсионала). Парадоксы такого типа отражают трудности из области логической семантики. В свою очередь, известный парадокс «Рогатый», приписываемый мегарику Алексину - малопримечательной фигуре в истории логики, относится уже к категории софизмов: «То, чего ты не потерял, то ты имеешь. Ты не потерял рога. Следовательно, ты их имеешь».

Несколько особняком стоит знаменитый парадокс «Протагор и Еватл» и такие его версии, как «Крокодил и мать», «Санчо Панса» и другие. По преданию, философ-софист Протагор (V век до новой эры) заключил со своим учеником Еватлом договор: Еватл, обучавшийся праву, должен заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Закончив обучение, Еватл не стал, однако, участвовать в процессах. Протагор подал на него в суд, аргументируя своё требование таким образом: «Каким бы ни был результат суда, Еватл должен будет заплатить. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу заключённого договора. Если проиграет, заплатит согласно решению суда». На это Еватл ответил: «Если я выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если суд будет не в мою пользу, это будет означать, что я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу договора». Если под решением данного спора понимать ответ на вопрос, должен Еватл уплатить Протагору или нет, то очевидно, что спор неразрешим. Договор учителя и ученика внутренне противоречив и требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.

В Античности также решались математические парадоксы. Древнегреческие математики столкнулись с парадоксальной для них ситуацией - несоизмеримостью геометрических фигур: было доказано, что сторона квадрата со стороной, равной единице, несоизмерима с его диагональю, так как выражается иррациональным числом, являющимся бесконечной непериодической дробью. Открытие несоизмеримости отрезков не согласовывалось с принятым, например, у пифагорейцев мнением, которые полагали, что любые два отрезка имеют общую числовую меру (общее кратное), хотя бы и очень малую. Система рациональных чисел плотно «покрывала» числовую ось, и предполагалось, что на ней не оставалось места для таких чисел, которые впоследствии были названы иррациональными.

Теория семантических парадоксов, или инсолюбилий (от латинского insolubiliis), интенсивно разрабатывалась в Средние века. Значительный вклад в разработку данной проблемы внесли А. Саксонский и Ж. Буридан.

А. Саксонский анализировал многие семантические парадоксы. Например, «Сократ утверждал: «Человек - животное». Платон сказал: «Только Сократ говорит правду». Требуется определить, сказал ли Платон правду». Содержательный анализ позволил А. Саксонскому сконструировать парадоксальную ситуацию. Если допустить, что Платон сказал правду, то в этом случае истинным следует признать только утверждение Сократа, но не Платона. Значит, Платон солгал. При обратном допущении - ложности утверждения Платона - следует признать истинным хотя бы одно высказывание, но не высказывание Сократа. Исходя из данного рассуждения, таким может быть только утверждение Платона. Значит, Платон сказал истину.

Ж. Буридан анализировал, в частности, следующее парадоксальное высказывание, или инсолюбилию: «Все, что написано в этом фолианте, ложно». При этом в данном фолианте больше ничего не написано. Процедура определения логического значения данного высказывания - истинно или ложно - представляет парадоксальную ситуацию. Если допустить, что оно истинно, следует признать его ложность, поскольку оно написано в данном фолианте. Сделав допущение о ложности высказывания, необходимо признать его истинность. Возникает формальное противоречие.

Дискуссия по проблеме парадоксов, построенных в рамках двузначного формализма, была весьма оживлённой в схоластической логике. А. Саксонский считал, что природа такого рода антиномий имеет не логический, а лингво-психологический характер. И. М. Скотт систематизировал формальное многообразие мнений о причинах парадоксов, сведя их к трём основным подходам:

1. отбрасывание;
2. ограничение;
3. решение.

При первом подходе инсолюбилия не рассматривается в качестве высказывания, так как к ней неприложимы категории «истинно» и «ложно», и считается бессмысленной.

Типичным примером второго, ограничительного подхода, является программа У. Оккама, согласно которой причина появления парадокса заключается в том, что термины, употребляемые при обозначении высказываний, используются иногда для обозначения тех же самых высказываний, составными частями которых они являются. Точка зрения Оккама редуцируется к запрещению возвратных (круговых) определений, то есть не разрешается употреблять такие языковые конструкции, в которых само высказывание непосредственно апеллирует к собственной ложности (соответственно, недоказуемости). Руководствуясь при решении проблемы парадоксов своей знаменитой «бритвой» («не следует приумножать сущностей сверх необходимости»), Оккам считал собственное решение проблемы предельно общим: при выполнении предписания антиномии не возникают. Но уже Буридан показал, что даже при соблюдении метода Оккама - отсутствии непосредственной апелляции к собственной ложности - возможно возникновение парадоксов, например, в следующей системе посылок:

• человек - животное;
• только первое высказывание истинно;
• первое и второе высказывания единственны.

Он предложил третий подход, исходя из различия двух типов парадоксальных высказываний:

1. с «прямым отражением» (например, в парадоксе Эвбулида «Лжец»);
2. с «непрямым (косвенным) отражением» (например, второе высказывание в приведённой выше системе посылок).

Для элиминации семантических парадоксов Буридан предложил два способа:

1. приписывать инсолюбилий уточняющее высказывание: утверждение было действительно высказано кем-нибудь;
2. уточнять аристотелевское понимание предиката «быть истинным», что позволит избежать ситуации, когда высказывание имплицирует другое высказывание, в котором субъектом является имя собственное исходного высказывания, а предикатом - термин «истинно».

В начале Нового времени активно решался «парадокс антиподов». Эмпирически было доказано, что все тяжёлые тела, если их не поддерживать, падают вниз. Шарообразность Земли и её обитаемость по обе стороны экватора были подтверждены, и это приводило к антиномии мнений при попытке ответить на вопрос, почему жители противоположной части земного шара не падают в пространство. Разрешение «парадокса антиподов» стало возможным в связи с пересмотром физического понятия падения. Вместо ошибочного положения о всеобщем тяготении всего сущего в одном направлении была выдвинута правильная теория о тяготении всего существующего на Земле к центру Земли.

В конце XIX - начале XX века парадоксы стали предметом акцентированного внимания математиков и логиков.

Математизация анализа систем объектов большой мощности (например, множества действительных чисел; множество цифр, образующих бесконечную десятичную дробь, и других) привела к пониманию бесконечной совокупности как одного объекта, а множества подобных объектов - как новой совокупности. В 1895 году Б. Рассел в письме к Г. Фреге сообщил ему об обнаруженном противоречии в теории множеств Г. Кантора. Парадокс, открытый Расселом, установил внутреннюю противоречивость понятия множества всех непарадоксальных множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Множество представляет собой обобщение предметов некоторого класса, обладающих общим свойством. Само множество может обладать тем же свойством или не обладать.

Существуют два вида множеств:

1. собственные, или нормальные, множества, не обладающие свойствами составляющих их элементов (например, множество индивидов не является индивидом, множество растений не является растением, множество звёзд не является звездой и так далее);
2. несобственные, или ненормальные, множества, обладающие свойствами составляющих их элементов (например, множество абстракций само обладает свойством быть абстракцией, множество списков также является списком, множество множеств также есть множество и так далее).

Рассел различал эти множества как множества объектов и множества множеств. Анализируя теорему Кантора о множестве-степени, Рассел выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таковым, а множество натуральных чисел - будет. Однако в отношении множества всех множеств, не являющихся элементами самого себя, мы уже не можем решить, будет ли оно обладать свойством не являться своим элементом или нет. Оба ответа ведут к противоречию.

Парадокс Рассела явился результатом критического пересмотра предпосылок, лежащих в основе работы Г. Фреге «Основные законы арифметики» (1903). Эту же антиномию одновременно обсуждали Э. Цермело и Д. Гилберт. Интересно, что парадокс Рассела не имеет специфически математического характера, что подтверждается переформулировкой его в логических терминах. Каждое свойство (признак) может быть приложимо к себе или неприложимо. Например, свойство «быть конкретным» не относится к самому себе, так как является абстракцией, а свойство «быть абстрактным» приложимо. При ответе на вопрос «приложимо ли свойство «быть неприложимым» к самому себе?» возникает парадоксальная ситуация: неприложимость является неприложимой только в том случае, если она приложима. Сам Рассел популяризовал его в форме «парадокса брадобрея»: «Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?» Семантический парадокс К. Греллинга и Л. Нильсона возникает в аналогичной ситуации: прилагательное называется автологическим, если свойство, которое оно обозначает, присуще ему самому (например, «многосложный», «русский» и так далее). Прилагательное называется Гетерологическим, если свойство, которое оно обозначает, ему самому не присуще (например, «зелёный», «французский» и так далее). Если прилагательное «гетерологический» Гетерологично, то оно негетерологично; если оно негеторологично, то оно Гетерологично.

Парадокс Рассела вызвал в математике «эффект полной катастрофы» (по выражению Д. Гилберта), так как простые, но важные логические методы и понятия оказались под угрозой. Стало очевидным, что ни в логике, ни в математике не были разработаны средства для устранения антиномий. Возникла необходимость радикального отказа от привычных, устоявшихся способов мышления и теоретизирования, поскольку в терминах классической двузначной логики парадоксальные ситуации не поддавались объяснению.

Уточнение представлений, лежащих в основе теории множеств, а также чёткое выделение рассуждений, приводящих к антиномиям, дали определённые результаты. Наиболее значимым оказался аксиоматический метод, разработанный Б. Расселом и Э. Цермело в 1908 году независимо друг от друга. Они связали причину парадоксов с неограниченным конституированием множеств. Допустимые множества были определены системой аксиом, сформулированных таким образом, чтобы из них не выводились известные парадоксы - Рассел предложил теорию типов, согласно которой устанавливается тип логического объекта и в соответствии с ним данный логический объект занимает строго определённое место в иерархии «типов». Все объекты, о которых мы рассуждаем, подразделяются на типы. К нулевому типу объектов относятся индивиды, к следующему, первому типу - свойства и отношения (признаки) индивидов, ко второму типу - признаки признаков и так далее. Например, Аристотель, Афины, Юпитер - это индивиды. Их свойства - «быть человеком», «быть городом», «быть планетой» - объекты первого типа. Объект «быть цветом» - уже не признак индивидов, так как ни один объект нулевого типа не является цветом, а признак признака. Логическая функция может иметь в качестве аргументов лишь только предшествующие ей в этой иерархии объекты, то есть то, что предицируется, всегда должно относиться к объектам более высокого типа по сравнению с типом объектов, относительно которых осуществляется предикация. Это позволяет отчасти избежать самоотнесения понятий.

По традиции, идущей от Ф. П. Рамсея, в логике принято делить парадоксы на логические и семантические . В 1926 году Ф. П. Рамсей впервые классифицировал парадоксы, разделив их на две группы:

1. синтаксические логико-математические парадоксы, не содержащие семантических терминов;
2. семантические парадоксы, содержащие семантические термины «истина», «язык», «определимость», «именование» и другие, которые основаны на интерпретации конкретных понятий и не являются строго математическими, а скорее относятся к области логической семантики (см. ) и теории познания.

Однако многие (причём наиболее принципиальные) парадоксы находятся на стыке данных двух групп. Таковы, например, парадокс «Лжец» и парадокс Рассела.

С развитием семантики (см. ), определяющей свои основные понятия в терминах теории множеств, различие, проведённое Рамсеем, становится всё менее различимым. А. Тарский видел причину семантических парадоксов в семантической замкнутости языков и действии законов формальной логики (см. ). Язык семантически замкнут, если в этом языке для каждого выражения может быть образовано имя этого выражения и в этом языке имеются семантические предикаты типа «истинное высказывание», «х определяет у» и другие, относящиеся к выражениям этого языка. Такими являются естественные языки. Утверждения о семантических свойствах данного объектного языка, в том числе классическое определение истины, необходимо формулировать не в самом этом языке, а в метаязыке. Границы между языком и метаязыком в семантически замкнутом языке не существует. Его богатые выразительные возможности позволяют не только что-то утверждать о внеязыковой реальности, но и оценивать истинность таких утверждений. Семантически замкнутый язык оказывается внутренне противоречивым. Любой естественный язык является семантически замкнутым. Именно с помощью их средств воспроизводятся все антиномии. Отказ от употребления семантически замкнутого языка, согласно Тарскому, единственно приемлемый путь для устранения парадоксов. В семантически не замкнутом языке нельзя сформулировать высказывание, утверждающее свою истинность или ложность.

Оригинальный подход к анализу семантических парадоксов предложил Д. А. Бочвар (и независимо от него С. Холден). Согласно Д. А. Бочвару, для анализа парадоксов следует использовать трёхзначную логику с двумя типами связок - внутренними с истинностными значениями «бессмысленно», «истинно» и «ложно» и внешними - только с истинностными значениями «истинно» и «ложно». В логике Д. А. Бочвара определима одноместная внешняя «утверждение бессмысленности». Анализ парадокса состоит в доказательстве бессмысленности парадоксальной формулы, то есть утверждения, что данная формула бессмысленна.

Новый класс парадоксов, лежащий на грани с семантическими, поскольку используется понятие определимости , был открыт Дж. Берри, который ввёл в рассмотрение сложность объекта. Парадокс Берри формулируется следующим образом: «Предложений, содержащих менее ста букв, конечное число; поэтому с их помощью можно определить лишь конечное число натуральных чисел; поэтому есть наименьшее число n 0 , не определимое таким способом; но тогда фраза «Наименьшее число, не определимое при помощи предложения, содержащего менее ста символов» содержит менее ста символов и определяет n 0 ». Конструкция парадокса Берри интенсивно используется в современной теории сложности вычислений для доказательства трудности решения задач. Она практически сводится к общенаучному принципу, что система может быть полностью познана лишь системой, на порядок более сложной.

Семантические парадоксы сыграли большую роль в развитии логики, так как необходимость их анализа привела к построению металогических средств и корректному определению предиката истинности для формализованных языков. В целом, семантические парадоксы устраняются за счёт чёткого разделения языка и описывающего его семантические свойства метаязыка. Однако это возможно только в случае искусственных, формализованных языков, допускающих чёткое подразделение на язык и метаязык . Вопрос о внутренней непротиворечивости естественных языков с их нечёткой структурой и возможностью выразить что угодно, в том числе и парадоксы, не имеет смысла.

Парадоксы, возникающие в различных языковых контекстах в результате применения принципа взаимозаменяемости, называются антиномиями отношения именования. Классическими примерами антиномии отношения именования является парадокс У. Куайна: «из посылок «Логически необходимо, что девять больше семи» и «В Солнечной системе имеется девять планет» на основании принципа взаимозаменяемости выводится ложное следствие «Логически необходимо, что число планет в Солнечной системе больше семи». Очевидно, что логической необходимости в данном случае нет». Впоследствии конструкция данного парадокса использована в доказательстве теоремы Х. Г. Райса о неразрешимости нетривиальных свойств вычислимых функций (единственные свойства вычислимых функций, которые могут определяться программой - тождественно истинное и тождественно ложное) и теоремы о невозможности нетривиальных точных предсказателей, то есть оракулы, которые не ошибаются, говорят либо только одну истину, либо одну ложь. Этот парадокс сыграл значительную стимулирующую роль при разработке тонких вопросов модальной логики с равенством (см. ).

Особую группу антиномий отношения именования составляют парадоксы, возникающие в контекстах с пропозиционально-эпистемическими установками «знаю, что», «считаю, что», «верю, что» и другие. Например, «X считает, что Прага - столица Словакии». Но известно, что Прага - столица Чехии. Согласно принципу взаимозаменяемости получаем «X считает, что столица Чехии является столицей Словакии», но X так не считает. Наиболее известными объяснениями парадокса именования являются концепции значения и смысла Г. Фреге, теория дескрипций Б. Рассела, метод экстенсионала и интенсионала Р. Карнапа, а также концепции возможных миров Р. Монтегю и Д. Скотта, являющиеся дальнейшим развитием метода экстенсионала и интенсионала. Понятия «денотат» и «смысл», отвечающие принципам теории именования, в концепции Фреге зависят от контекста. У Фреге смысл выражения в обычном экстенсиональном контексте становится денотатом в интенсиональном (косвенном) контексте. Рассел исходил из идеи, что имена эмпирических объектов являются сокращёнными логическими дескрипциями, которые обозначают объекты не путём указания на определяемый объект (применение эмпирических терминов, смысл которых определяется остенсивно, должно быть строго ограничено в языке, имеющем общезначимый характер), а посредством теоретического описания этого объекта. Структуры логических дескрипций включают исключительно теоретические термины. Антиномии отношения именования возникают вследствие имплицитного смешения нетождественных по смыслу терминов. Явления несоответствия между тем, что должно быть, - согласно принципу взаимозаменяемости - фактическим положением дел Карнап назвал антиномиями отношения именования. Он заменил фрегевский метод отношения именования методом интенсионала (содержания) и экстенсионала (объёма).

Антиномии не возникают в экстенсиональных контекстах, значения которых зависят только от денотатов (предметных значений) употребляемых в нём имён. Для интенсиональных контекстов, значения которых зависят от смысла употребляемых в нём имён, общепринятый принцип взаимозаменяемости имён оказывается неправомерным. В настоящее время критерий, посредством которого можно было бы различать интенсиональные и экстенсиональные контексты, не найден. Основные категории логической семантики Карнапа и понятия экстенсионала и интенсионала - вводятся на основе различения И -эквивалентности и Л -эквивалентности. Любые два выражения (высказывания, имена, предикаторы) И -эквивалентны, если и только если они имеют один и тот же экстенсионал, и Л -эквивалентны, если и только если имеют один и тот же интенсионал. Необходимым условием взаимозаменяемости высказываний является тождество их экстенсионалов - логических валентностей и интенсионалов - выражаемых ими суждений.

Понятие интенсионала не является адекватным уточнением фрегевского понятия «смысл». Семантика возможных миров (см. ), предполагаемая понятием интенсионала, требует уточнения условий сохранения смысла и условий истинности. Под возможными мирами (понятие восходит к философии Г. В. Лейбница) понимаются все мыслимые взаимно непротиворечивые положения дел относительно всех объектов и их состояний (см. ). Набор обстоятельств, от которых зависит истинность высказывания (положение дел в разные моменты времени, в разных местах, с разными лицами и так далее) Монтегю и Скотт назвали точками соотнесения. Монтегю подчёркивал их «прагматический характер и относил интерпретацию такого рода контекстов к области прагматики». Е. Д. Смирнова уточнила, что эти факторы могут быть «как объективного плана (время, место и так далее), так и связанными с субъектом (субъектами), то есть носить прагматический характер». В системе классической логики рассматриваются выводы из высказываний, в которых утверждается или отрицается наличие некоторых ситуаций фактического характера. Особенностями этих высказываний являются их экстенсиональный характер и двузначность.

Экстенсиональный характер высказываний означает, что истинностное значение высказывания зависит не от содержаний входящих в них терминов, а лишь от их предметных значений (денотатов). Значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих их высказываний. Условная связь образует интенсиональные контексты, то есть высказывание формы «Если A , то B » истинно лишь при наличии определённой связи между ситуациями A и B , независимо от того, какие истинностные значения принимают высказывания A и B .

Как логические парадоксы часто трактуются законы материальной импликации - «из лжи следует всё что угодно», и «истина следует из всего, что угодно», поскольку они позволяют получить формулы A → B , в которых A и B никак не связаны по смыслу. Материальная импликация - экстенсиональна, то есть логическая форма «A → B » истинна в случаях, когда ложно A или истинно B , независимо от того, имеется ли какая-либо связь между ситуациями A и B . Поэтому такие высказывания как, например, «Если трава зелёная, то непрерывная функция дифференцируема», «Если люди были на Марсе, то непрерывная функция дифференцируема», являются истинными. Такого рода ситуации называются парадоксами материальной импликации. Материальную импликацию нельзя рассматривать как условную связь. Поэтому возникает проблема экспликации отношения условной связи - одна из проблем, решаемых релевантной логикой. Далее, следует отметить парадокс логического всеведения: Если мы знаем A и A → B , то мы знаем B . Следовательно, мы знаем все следствия наших знаний, и в частности все логические тавтологии, что невозможно, поскольку их множество бесконечно (а для языка логики предикатов даже неразрешимо). Парадоксы следования, материальной и строгой импликации называются парадоксами релевантности вследствие того, что утверждаемые ими связи между высказываниями фактически не утверждают связи по содержанию, то есть в формулах указанных видов нарушается требование релевантности.

Наряду с парадоксами релевантности выделяют парадоксы модальности (А. Р. Андерсон и Н. Д. Белнап), в которых необходимость является следствием простого фактофиксирующего высказывания. Таковыми являются выражения вида (A → (B → C ), где A - произвольное высказывание, отражающее фактическое положение дел, но не содержащее связи «→». Подформула B → C представляет собой утверждение необходимого характера о наличии следования между B и C . Его истинность не может зависеть от случайных обстоятельств, поскольку отношение следования обусловлено лишь логическими формами высказываний. Подформула A может выражать фактическое высказывание. В этом случае необходимость не может быть следствием фактофиксирующей ситуации. В логике подтверждения, разрабатываемой в рамках вероятностной логики, имеет место ряд логических трудностей, называемых парадоксами подтверждения. Наиболее известным является парадокс воронов Гемпеля. Гипотеза «Все A есть B » подтверждает наличие предметов, обладающих свойством A и свойством B . Например, чем больше мы встретим чёрных воронов, тем больше имеется оснований принять гипотезу «Все вороны чёрные». Гипотеза «Все нечёрные предметы не являются воронами» логически эквивалентна исходной (получена путём частичной контрапозиции - разновидности непосредственного силлогистического вывода исходной гипотезы и подтверждается наблюдением любого нечёрного предмета, например белого ботинка. Но поскольку две гипотезы логически эквивалентны, то они должны подтверждаться одинаковыми фактами. Таким образом, наблюдение белого ботинка подтверждает гипотезу о том, что все вороны чёрные.

Указанные аномалии послужили стимулом для развития модальных , паранепротиворечивых , эпистемических и релевантных логик, в которых данные парадоксы частично преодолеваются. На самом деле полностью преодолеть их невозможно, поскольку любая успешная формализация является сильным упрощением.

Развитие современных логических методов привело к новым логическим парадоксам. Например, Л. Э. Я. Брауэр указал на следующий парадокс классического существования: в любой достаточно сильной классической теории имеется доказуемая формула вида ∃хA (x ), для которой нельзя построить никакого конкретного t , такого, что доказуемо A (t ). В частности, нельзя построить в теории множеств ни одной нестандартной модели действительных чисел, хотя можно доказать существование таких моделей. Этот парадокс показывает, что понятия существования и возможности построения необратимо расходятся в классической математике.

Далее, нестандартные модели, которые потребовали явного различения языка и метаязыка, привели к следующему парадоксу: «Множество всех стандартных действительных чисел является частью нестандартного конечного множества. Таким образом, бесконечное может быть частью конечного». Этот парадокс резко противоречит обыденному пониманию соотношения конечного и бесконечного. Он основан на том, что свойство «быть стандартным» принадлежит метаязыку, но может быть точно интерпретировано в нестандартной модели. Поэтому в нестандартной модели можно говорить об истинности и ложности любых математических утверждений, включающих понятие «быть [не] стандартным», но для них не обязаны сохраняться свойства стандартной модели, за исключением логических тавтологий. Данный парадокс стал основой теории полумножеств, в которой классы могут быть подклассами множеств.

Ввиду того, что парадоксы раскрывают скрытые концептуальные противоречия и переводят их в прямые и открытые, они в целом помогают при развитии новых идей, концепций и теорий. Парадокс как абсолютное противоречие легко может возникнуть в научной теории (см. ), если логические основы этой теории недостаточно изучены и выявлены не полностью. Отрицательная роль парадокса в науке состоит в том, что он обнаруживает несостоятельность той теории, в которой он получен, таким образом показывая, что совокупность её исходных допущений должна быть отвергнута. Кроме того, логические правила чаще всего позволяют вывести из противоречия любое предложение теории или, по крайней мере, отрицание любого предложения, что обесценивает само понятие доказуемости в теории. Поэтому в связи с каждой теорией, представляющей логический интерес, возникает задача - освобождение данной теории от парадоксов, то есть придания ей такой формы, в которой они не могут возникнуть (доказательство этого факта представляет собой доказательство непротиворечивости теории), или такой формы, при которой практически не удаётся получить противоречие (ввиду трудности нахождения доказательств непротиворечивости часто довольствуются этим вторым видом решения задачи освобождения теории от парадоксов, хотя первый, конечно, предпочтительнее). Таким образом, решение этой задачи, поставленной для произвольно выбранной теории, может включать в себя (и обычно включает) предварительную замену этой теории на другую, достаточно близкую к ней по своей цели или содержанию, но с более или менее отработанными логическими основами (ибо в своём первоначальном варианте любая сколько-нибудь сложная теория обычно далека от логического совершенства и приближается к нему в значит, мере как раз благодаря попыткам устранения парадоксов; в этом, кстати, состоит положительное значение парадокса в логическом развитии теории). Поскольку исходные допущения теории (часто именуемые её постулатами или аксиомами, хотя строгая теория и не обязательно должна строиться согласно аксиоматическому методу) в достаточной мере выявлены, от некоторых из них приходится часто отказываться в целях избежания парадоксов. В связи с тем, что полный отказ от исходных допущений привёл бы и к полному разрушению теории, отказ от нужных допущений обычно сопровождается принятием других допущений, способных играть но возможности ту же полезную роль, которую играли бы в теории отбрасываемые допущения. Таким образом, под влиянием обнаруживаемых парадоксов научные теории уточняются. Уточняется и само понятие доказательства - так что рассуждения, приводившие к парадоксу на ранней стадии развития теории, уже не приводят к ним на позднейших стадиях этого развития. Ввиду этого слово «парадокс» часто употребляется условно или в переносном смысле не только в обыденной речи, но и в научно-ориентированных дискурсах.

Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.

Рассмотренные парадоксы - это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.

«Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания», - пишет австрийский математик и логик К.Гедель. «Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов», - утверждает математик Д.Бочвар. Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под логическим парадоксом.

Своеобразие логических парадоксов

Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь.

Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и нелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и нелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.

Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.

На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Б.Расселом принцип порочного круга. Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.

Все парадоксы имеют одно общее свойство - самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек. И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.

Во всех парадоксах имеет место самоприменимость понятий, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.

Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома железа» и т.п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.

Простая ссылка на использование самоприменяемых понятий недостаточна, таким образом, для дискредитации парадоксов. Необходим еще какой-то дополнительный критерий, отделяющий самоприменимость, ведущую к парадоксу, от всех иных ее случаев.

Было много предложений на этот счет, но удачного уточнения циркулярности так и не было найдено. Невозможным оказалось охарактеризовать циркулярность таким образом, чтобы каждое циркулярное рассуждение вело к парадоксу, а каждый парадокс был итогом некоторого циркулярного рассуждения.

Попытка найти какой-то специфический принцип логики, нарушение которого было бы отличительной особенностью всех логических парадоксов, ни к чему определенному не привела.

Несомненно полезной была бы какая-то классификация парадоксов, подразделяющая их на типы и виды, группирующая одни парадоксы и противопоставляющая их другим. Однако и в этом деле ничего устойчивого не было достигнуто.

Английский логик Ф.Рамсей, умерший в 1930 г., когда ему еще не исполнилось и двадцати семи лет, предложил разделить все парадоксы на синтаксические и семантические. К первым относится, например, парадокс Рассела, ко вторым - парадоксы «Лжеца», Греллинга и др.

По мнению Рамсея, парадоксы первой группы содержат только понятия, принадлежащие логике или математике. Вторые включают такие понятия, как «истина», «определимость», «именование», «язык», не являющиеся строго математическими, а относящиеся скорее к лингвистике или даже теории познания. Семантические парадоксы обязаны, как кажется, своим возникновением не какой-то ошибке в логике, а смутности или двусмысленности некоторых нелогических понятий, поэтому поставленные ими проблемы касаются языка и должны решаться лингвистикой.

Рамсею казалось, что математикам и логикам незачем интересоваться семантическими парадоксами. В дальнейшем оказалось, однако, что некоторые из наиболее значительных результатов современной логики были получены как раз в связи с более глубоким изучением именно этих нелогических парадоксов.

Предложенное Рамсеем деление парадоксов широко использовалось на первых порах и сохраняет некоторое значение и теперь. Вместе с тем становится все яснее, что это деление довольно-таки расплывчато и опирается по преимуществу на примеры, а не на углубленный сопоставительный анализ двух групп парадоксов. Семантические понятия сейчас получили точные определения, и трудно не признать, что эти понятия действительно относятся к логике. С развитием семантики, определяющей свои основные понятия в терминах теории множеств, различие, проведенное Рамсеем, все более стирается.

Парадоксы и современная логика

Какие выводы для логики следуют из су ществования парадоксов?

Прежде всего наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться.

Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.

Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.

Средневековым логикам не были известны понятия «множество» и «элемент множества», введенные в науку только зо второй половине XIX в. Но чутье на парадоксы было отточено в средние века настолько, что уже в то давнее время высказывались определенные опасения по поводу самоприменимых понятий. Простейшим их примером является понятие «быть собственным элементом», фигурирующее во многих нынешних парадоксах.

Однако такие опасения, как и вообще все предостережения, касающиеся парадоксов, не были до нашего века в должной мере систематическими и определенными. Они не вели к каким-либо четким предложениям о пересмотре привычных способов мышления и выражения.

Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.

Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.

Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.

Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в ее наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.

Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого ее можно было бы и проглядеть.

Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и ее в конце концов удается раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.

Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.

«За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями», - пишет А.Френкель. «Похоже на то, - заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, - что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы».

Устранение и объяснение парадоксов

Следует обратить внимание на одно важное различие.

Устранение парадоксов и их разрешение - это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории - значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое ее звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.

Но это еще не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.

Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуиция-ми. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.

Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.

Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, «мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых».

И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.

Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?

Логическая грамматика

Один путь - это выделение наряду с истинными и ложными предложениями также бессмысленных предложений. Этот путь был принят Б.Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены им бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования логической грамматики. Не всякое предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным - оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.

Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.

Основная идея теории типов - выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, т.е. индивидов; ко второму - множества множеств индивидов и т.д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т.д. При этом вводятся определенные ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств - свойствам и т.д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.

Возьмем серию предложений:

Этот дом - красный.

Красное - это цвет.

Цвет - это оптическое явление.

В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определенный предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» - на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» - указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.

Все три предложения из приведенной серии являются, конечно, осмысленными. Они построены в соответствии с требованиями теории типов. А скажем, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. Аналогичное нарушение содержится и в предложении «Этот дом является оптическим явлением». Оба эти предложения должны быть отнесены к бессмысленным.

Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «Лжеца» и Берри простое разделение рассматриваемых объектов на типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.

Исключение парадоксов может быть достигнуто также на пути отказа от использования слишком больших множеств, подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен немецким математиком Е.Цермело, связавшим появление парадоксов с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированных так, чтобы из них не выводились известные парадоксы. Вместе с тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода из них обычных рассуждений классической математики, но без парадоксов.

Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.

Будущее парадоксов

У Г.Фреге, величайшего логика прошлого века, был, к сожалению, очень скверный характер. Кроме того, он был безоговорочен и даже жесток к своей критике современников.

Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получал признания. И вот когда известность начала приходить к нему, молодой английский логик Б.Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, и Фреге смог лишь добавить к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (позднее названное «парадоксом Рассела») и признал, что он не способен его устранить.

Однако последствия этого признания были для Фреге трагическими. Он испытал сильнейшее потрясение. И хотя ему тогда было всего 55 лет, он не опубликовал больше ни одной значительной работы по логике, хотя прожил еще более двадцати лет. Он не откликнулся даже на оживленную дискуссию, вызванную парадоксом Рассела, и никак не прореагировал на многочисленные предлагавшиеся решения этого парадокса.

Впечатление, произведенное на математиков и логиков только что открытыми парадоксами, хорошо выразил Д.Гильберт: «...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?»

Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что абсолютная строгость, достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика - в том интуитивном виде, какой она имела на рубеже веков, - нуждается в глубоком пересмотре.

Прошло около века с тех пор, как началось оживленное обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.

И вместе с тем такое состояние вряд ли кого волнует сегодня. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели свое определенное, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, - это в принципе недостижимый идеал.

Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ науки логики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами логики. Продолжая сравнение парадоксов с особо отчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.