По характеристическим функциям восстановить распределения. Научный форум dxdy
Математическое ожидание и его свойства.
Числовые характеристики случайных величин.
Лекция №5
Раздел 2. Случайные величины.
Тема 1 . Функция распределения, плотность вероятности и числовые характеристики случайной величины.
Цель лекции: дать знания о способах описания случайных величин.
Вопросы лекции:
Литература:
Л1 - Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.
Л2 - Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с: ил.
Л3 - Нахман А.Д., Косенкова И.В. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2009.
Л4 - Плотникова С.В. Математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2005. (pdf-файл)
При решении многих задач вместо функции распределения F(x) и п.в. р(х) применяется характеристическая функция . С помощью этой характеристики оказывается целесообразным, например, определять некоторые числовые характеристики сл.в. и з.р. функций сл.в.
Характеристической функцией сл.в. называется преобразование Фурье от ее п.в. р(х) :
, (2.6.1)
где - параметр, являющийся аргументом характеристической функции, - м.о. сл.в. (см § 2.8.).
Применив обратное преобразование Фурье, получим формулу, определяющую п.в. сл.в. по ее характеристической функции
. (2.6.2)
Так как размерность р(х) обратна размерности x , то величина , а следовательно, и являются безразмерными. Аргумент имеет размерность обратную размерности x .
Воспользовавшись представлением (2.5.7) п.в. р(х) в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (1) на дискретные сл.в.
. (2.6.3)
Иногда вместо характеристической функции оказывается удобным использовать логарифм от нее:
Y
. (2.6.4)
Функцию Y можно назвать второй (логарифмической ) характеристической функцией сл.в. .
Отметим наиболее важные свойства характеристической функции.
|
. (2.6.5)
2. Для симметричного распределения, когда р(х)= р(-х)
, мнимая часть в (1) равна нулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией . Наоборот, если принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично.
3. Если сл.в. является линейной функцией сл.в. , то ее характеристическая функция определяется выражением
, (2.6.6)
где a и b - постоянные.
4. Характеристическая функция суммы независимых сл.в. равна произведению характеристических функций слагаемых, т.е., если
. (2.6.7)
Это свойство особенно полезно, так как в противном случае нахождение п.в. суммы сл.в. связано с многократным повторением свертки, что вызывает иногда затруднения.
Таким образом, учитывая однозначную связь между функцией распределения, плотностью вероятности и характеристической функцией, последняя в равной мере может быть использована для описания сл.в.
|
Дискретная сл.в. может принять три значения (ни один из импульсов не подавлен), (подавлен один импульс), (подавлены оба импульса). Вероятности этих значений соответственно равны:
α k | (y )= | M [ Y | +∞∫ ϕ k | (x ) | (x) dx; | ||||||
µ k (y ) | ∫ (ϕ (x ) | f (x) d x. | |||||||||
Характеристическая функция случайной величины | |||||||||||
Пусть Y = e itX , где | X – | случайная величина с известным законом |
|||||||||
распределения, t – параметр,i = | − 1. | ||||||||||
Характеристической функцией случайной величины Хназывается |
|||||||||||
математическое ожидание функции Y = e itX : | |||||||||||
∑ e itx k p k , для ДСВ, | |||||||||||
k = 1 | |||||||||||
υ X (t )= M = | |||||||||||
∫ e itX f (x )dx , для НСВ. | |||||||||||
Таким образом, характеристическая | υ X(t ) | и закон распределения |
случайной величины однозначно связаны преобразованием Фурье . Например, плотность распределенияf (x ) случайной величиныX однозначно выражается через ее характеристическую функцию при помощиобратного преобразования Фурье :
f (x) = | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π−∞ ∫ | ||||
Основные свойства характеристической функции: | ||||
Характеристическая функция величины Z = aX + b , гдеX – случайная |
||||
величина с характеристической функций υ X (t ) , равна | ||||
υ Z (t ) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at ) . | ||||
Начальный момент k -го порядка случайной величиныX равен | ||||
α k (x )= υ X (k ) (0)i − k , |
где υ X (k ) (0) – значение k -й производной характеристической функции приt = 0.
3. Характеристическая функция суммы | Y = ∑ X k независимых |
k = 1 |
случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:
υ Y(t ) = ∏ υ Xi | (t ). | ||
i = 1 | |||
4. Характеристическая функция нормальной | случайной величины с |
||
параметрами m иσ равна: | |||
υ X (t) = eitm − | t 2 σ 2 | ||
ЛЕКЦИЯ 8 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения
Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) – совокупность двух одномерных случайных величин, которые принимают значения в результате проведения одного и того же опыта.
Двухмерные случайные величины характеризуются множествами значений Ω X ,Ω Y своих компонент и совместным (двухмерным) законом распределения. В зависимости от типа компонентX ,Y различают дискретные, непрерывные и смешанные двухмерные случайные величины.
Двухмерную случайную величину (Х, Y ) геометрически можно представить как случайную точку (Х ,У ) на плоскости х0у либо как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (Х ,У ).
Двухмерная функция распределения двухмерной случайной величины
(Х ,Y ) равна вероятности совместного выполнения двух событий {Х <х } и {Y < у }:
F(x, y) = p({ X< x} { Y< y} ) .
Геометрически двухмерная функция распределения F (x , y )
попадания случайной точки (Х ,Y ) в | ||||
бесконечный | квадрант с | вершиной в |
||
точке (х ,у ), лежащей левее и ниже ее. | ||||
Компонента Х приняла значения, | ||||
меньшие действительного числа х , это | ||||
распределения | F X (x ), а | |||
компонента Y – меньшие действительного | ||||
числа у , | распределения | |||
F Y (y ). |
Свойства двухмерной функции распределения:
1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.
– это вероятность
. (x ,y )
Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, не превышающее 1.
2. F (–∞ , y ) =F (x , –∞ ) = F (–∞ , –∞ ) = 0,F (+∞ , +∞ ) = 1.
3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), еслиx 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), еслиy 2 >y 1 .
Доказательство. Докажем, чтоF (x ,y )− неубывающая функция по
переменной х . Рассмотрим вероятность
p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
Так как p (X < x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X < x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
Аналогично и для у .
4. Переход к одномерным характеристикам:
F (x ,∞ )= p (X < x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞ ,y )= p (X < ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. Вероятность попадания в прямоугольную область | |||||||||||
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) = | |||||||||||
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ). | (β,γ) | ||||||||||
Функция распределения − наиболее | |||||||||||
универсальная | |||||||||||
распределения | |||||||||||
использована | описания как | (β,δ) | |||||||||
непрерывных, | и дискретных | (α,δ) | |||||||||
двухмерных случайных величин. | |||||||||||
Матрица распределения
Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) является дискретной, если множества значений ее компонентΩ X иΩ Y представляют собой счетные множества. Для описания вероятностных характеристик таких величин используется двухмерная функция распределения и матрица распределения.
Матрица распределения представляет собой прямоугольную таблицу, которая содержит значения компонентыX − Ω X ={ x 1 ,x 2 ,... ,x n } , значения компонентыY − Ω Y ={ y 1 ,y 2 , …,y m } и вероятности всевозможных пар значенийp ij =p (X =x i ,Y =y j ),i = 1, …,n ,j = 1, …,m .
x i \ yj | ||||
X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n . | ||||
j= 1 | ||||
3. Переход к ряду распределения вероятностей составляющей Y : | ||||
p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m . |
i= 1
Двухмерная плотность распределения
Двухмерная случайная величина (X ,Y ) является непрерывной, если ее
функция распределения F (х ,у ) представляет собой непрерывную, дифференцируемую функцию по каждому из аргументов и существует вторая
смешанная производная ∂ 2 F (x , y ) .
∂ x ∂y
Двухмерная плотность распределения f(х, у) характеризует плотность вероятности в окрестности точки с координатами (х, у) и равна второй смешанной производной функция распределения:
∫∫ f(x, y) dxdy.
Свойства двухмерной плотности:
1. f (x ,y )≥ 0.
2. Условие нормировки:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .
Кстати, Вы только что ратовали за то, что студент не должен знать ничего про равномерную непрерывность, а теперь предлагаете ему дельта-функции? Адекватно, ничего не скажу.
Я рад снова видеть вас в теме с готовностью дискутировать безотносительно характеристик, касаемых меня лично. Мне с вами интересно. Студент должен знать всё о чём его могут спросить, но прежде всего он должен овладевать системой понятий, их характеризацией и взаимосвязями между ними и не должен быть ограничен узким кругом того раздела дисциплины, которую он изучает в данный момент и не должен также представлять собою ходячий справочник, который постоянно помнит большое кличество функций не удовлетворяющих тому или иному условию.
В исходной задаче требовалось установить является ли заданнная функция ХФ какой-либо случайной величины. Такую задачу студент получает, когда вводится понятие ХФ. И целью решения подобных задач является закрепление понимания взаимосвязи ХФ и ПРВ, а также закрепления знаний о свойствах ХФ.
Показать, что заданная функция является ХФ можно двумя способами: либо следует отыскать соответствующую ей по Фурье функцию и проверить, что она удовлетворяет условию нормировки и положительна, либо доказать неотрицательную определённость заданной функции и сослаться на теорему Бохнера-Хинчина. При этом использование теорем о представлении СВ в виде линейной комбинации других СВ Радемахера никак не способствует пониманию основных свойств ХФ, более того, как я выше указал ваше решение содержит завуалированный ряд Фурье, то есть фактически соответствует первому способу.
Когда требуется показать, что заданная функция не может являться ХФ какой-либо СВ, то достаточно установить невыполнение одного из свойств ХФ: единичное значение в нуле, ограниченность по модулю единицей,получение корректных значений для моментов ПРВ, равномерную непрерывность. Проверка корректности значений моментов, вычисляемых через заданную функцию является математически-равноправной проверке равномерной непрерывности в том смысле, что невыполнение любого из этих свойств может служить одинаковым основанием для признания непригодности заданной функции. Однако, проверка корректности значений моментов является формализованной: дифференцируй и проверяй. Равномерную непрерывность, в общем случае, приходится доказывать, что ставит успех решения задачи в зависимость от творческого потенциала студента, от его способности "догадываться".
В рамках обсуждения "построения" СВ предлагаю рассмотреть простую задачу: построим СВ с ХФ вида: где
Характеристической функцией случайной величиныX называют преобразование Фурье распределения случайной величины:
Свойства
Доказательство .
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-8uZiQG.png)
Доказательство .
Естественно , это свойство распространяется и на бо́льшее число слагаемых:
.
φ (t ) равномерно непрерывна.
Доказательство .
Полученное окончательное выражение зависит только от h . Для непрерывной случайной величины можно записать
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-FH6sMz.png)
.
Доказательство . Если существуетk -й момент величиныX , то, пользуясь дифференцированием под знаком интеграла (что можно, посколькуp (x ) существует), получим
При каждом последующем дифференцировании «сносится» i E[X ], так что послеk дифференцирований получимi k E[X k ]. Этот результат можно представить в виде
.
Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.
Доказательство частных случаев
Пусть X - целочисленная дискретная случайная величина (k Z ), тогда (обратное преобразование Фурье)
(ряд Фурье, коэффициентами которого являются p k ), тогда
Все слагаемые, при которых k ≠m , дают 0 (по ортогональности), и остается
.
Пусть φ (t ) абсолютно интегрируема на вещественной прямой, и существует плотность распределенияp (x ) 11 .
Попробуем выразитьp (x ) через характеристическую функцию. Запишем обратное преобразование Фурье функцииφ :
.
С учетом этого
Поскольку
в силу замены переменных получим
и, следовательно,
.
Если в (*) во втором интеграле оба предела интегрирования имеют одинкаовые знаки, получим 0; если разные - конечное число. То есть, ненулевой предел есть при a <y <b . В этом случае появится интеграл от −∞ до ∞, равныйπ . Отсюда
Получили :
,
следовательно, p полностью определяется характеристической функцией.
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-_xnz_W.png)
.
Доказательство ..
Критерий характеристической функции
Функция φ X (t ) - характеристическая для случайной величиныX тогда и только тогда, когда:
φ X (0) = 1,
φ X (t ) положительно определена .
Функция φ (t ) называетсяположительно определенной (positivedefinite), если
причем равенство нулю достигается лишь при z i = 0i . Если ослабить условие достижения равенства нулю, получимнеотрицательно определенную функцию.
Проверим , что характеристическая функция положительно определена:
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-TbQPGv.png)
Обоснование . По свойству 5),
При k = 1, получаем,
При k = 2 -.
Если EX
= 0,DX
=E[X
2 ] = 1,.
20.2 Примеры
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-WV2kED.png)
Решение . Приведем выражение к виду
Нетрудно видеть, что
.
После преобразования можно записать
.
Рассмотрим значения p i :
Вывод :cos 2 t - характеристическая функция дискретной случайной величины, принимающей значение 0 с вероятностью 1/2, а значения 2 и −2 - с вероятностью 1/4.
Вычислить характеристическую функцию вырожденной случайной величины:P (X = 0) = 1.
Решение ..
Если же P (X =C ) = 1, получим.
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-fEwTzU.png)
Решение . Приведем выражение к виду
.
Рассмотрим значения p i :
Получили : это характеристическая функция дискретной случайной величины.
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-2Xq2dX.png)
Решение . ПустьY =X –X ′ , тогда
Вывод : квадрат модуля любой характеристической функции - снова характеристическая функция.
Пусть X ,Y - случайные величины с характеристическими функциямиφ X (t ) иφ Y (t );a ,b > 0 - константы такие, чтоa +b = 1. Рассмотрим функцию
Является ли она характеристической, и если да, то для какой случайной величины?
Ответ : да, является. Пусть соответствующие функции распределенияX иY - F X (x ) иF Y (y ). Рассмотрим функцию. Очевидно, это функция распределения, поскольку
Тогда плотность вероятности
Если φ (t ) - характеристическая функцияX , тоφ (−t ) - характеристическая функция (–X ). (из примера 4)).
Пусть φ (t X , тогда является ли
f (t ) =Re[φ (t )]
Решение . Очевидно,
Пусть φ (t ) соответствует функции распределенияF X (x ), тогда дляRe[φ (t )]:
Пусть φ (t ) - характеристическая функция величиныX , тогда является ли
f (t ) =Im[φ (t )]
характеристической функцией некототорой случайной величины?
Решение . Нет, не является, посколькуf (0) = 0.
X ~ N (0, 1):
Найти характеристическую функцию нормального распределения.
Сосчитаем φ (t ), продифференцировав под знаком интеграла:
Решим дифференциальное уравнение
с начальным условиемφ
(0) = 1:
X ~N (a ,σ 2): сопоставим такую величину сX 0 ~N (0, 1). Легко видеть, чтоX =a +σ X 0 . Тогда, по свойству 2)
Похожие статьи
-
Мытарства души после смерти: что происходит после смерти
Понимание посмертной жизни души очень важно для каждого верующего религиозного человека. Ответив на вопрос, что нас ждет после смерти, что такое душа, мы понимаем, что такое человек и как нужно жить, чтобы не погибнуть для вечности....
-
Штомпка анализ современных обществ
Теория структурации Э. Гидденса послужила в определенной мере толчком для появления в 1990-х гг. работ польского социолога Петра Штомпки (ныне президента Международной социологической ассоциации), посвященных комплексному и целостному...
-
Поиск презентаций. это будет их проект
Презентация: Творческий проект с использованием ученика 1-5 класса МОУ Гимназии 26 Девяткина Дмитрия «Правила поведения младшего школьника при чрезвычайных ситуациях.» Творческий проект с использованием ученика 1-5 класса МОУ Гимназии 26...
-
Когда наступает Новый год Свиньи по китайскому календарю?
Восточная культура и китайские традиции прочно прижились в нашей повседневной жизни, стали и нашими привычками и традициями. Праздновать Новый год по-восточному сегодня стали многие люди, другие же хоть и не празднуют, но какое животное...
-
Сочинение по картине К.Ф.Юона На тему: «Весенний солнечный день. Описание картины К. Юона "Весенний солнечный день" Весенний солнечный день небо
К. Ф. Юон является замечательным и талантливым мастером живописи, которому удалось создать множество примечательных картин. Особое внимание уделялось художником написанию природных особенностей родного края, которые изображены на его...
-
Крымский гуманитарный университет (КГУ)
г.Ялта, пгт. Массандра, ул. Стахановская, 11 Становление и развитие современной кафедры педагогики и управления учебными заведениями начинается с деятельности цикловой комиссии при Ялтинском педагогическом училище. В 1994 году одновременно...