Как найти наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения функции

понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у = x , заданная на отрезке , достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x = 1 и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x 0 всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x 0 , и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x 0 . Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных. См. также Экстремум .

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Наибольшее и наименьшее значения функции" в других словарях:

Большой Энциклопедический словарь

Понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего)… … Энциклопедический словарь

Понятия матем. анализа. Значение, принимаемое функцией в пек рой точке множества, па к ром эта функция задана, наз. наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения … Естествознание. Энциклопедический словарь

МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума … Большая политехническая энциклопедия

Наибольшее и соответственно наименьшее значения функции, принимающей действительные значения. Точку области определения рассматриваемой функции, в к рой она принимает максимум или минимум, наз. соответственно точкой максимума или точкой минимума… … Математическая энциклопедия

Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа, где троичное множество, а неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы множества цифровые… … Википедия

Представление булевых функций нормальными формами (см. Булевых функций нормальные формы). простейшими относительно нек рой меры сложности. Обычно под сложностью нормальной формы понимается число букв в ней. В этом случае простейшая форма наз.… … Математическая энциклопедия

Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x0 … Большая советская энциклопедия

- (лат. maximum и minimum, буквально наибольшее и наименьшее) (матем.), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями в достаточно близких точках. На рисунке функция у = f(х) имеет в точках x1 и х3 максимум, а в точке х2 … … Энциклопедический словарь

- (от латинского maximum и minimum наибольшее и наименьшее) (математическое), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума … Современная энциклопедия

И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:

Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.

Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».

Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые ) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:


Эту же область можно задать и линейными неравенствами : , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой .
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие .

А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:

Пример 1

В ограниченной замкнутой области

Решение : прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:

I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных :

Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:

– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.

Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .

Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.

II) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:

1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:

Как вариант, можно оформить и так:

Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится :

– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже) функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже) :

Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:

Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.

Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :

Исследуем второй конец отрезка :

Используя функцию , выполним контрольную проверку:

3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:

Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.

Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:

Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :

Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.

И заключительный шаг : ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .

В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .

Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .

Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.

Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:

– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.

– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!

– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!

– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что

Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:

Пример 4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:

Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)

Решение , как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….

I) Найдём стационарные точки:

Система-мечта идиота:)

Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)

II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:

1) Если , то

Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

Вычислим значения функции на концах отрезка:

2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

Контроль:

Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

Решаем квадратное уравнение , помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:


Вычислим значения функции в найденных точках:

Проверку по функции проведите самостоятельно.

Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ :

Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».

Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!

Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : изобразим область на чертеже:

Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции прибыли, а именно определить ее наибольшее значение и разработать стратегию его достижения.

Инструкция

Исследование поведения любой всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.

Исходя из , наибольшим является значение функции y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.

Чтобы определить наибольшее значение функции , следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и , а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.

Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции . Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.

Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.

Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: , (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.

Задача на этом этапе

Часто в физике и математике требуется найти наименьшее значение функции. Как это сделать, мы сейчас расскажем.

Как находить наименьшее значение функции: инструкция

1. Чтобы вычислить наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке, нужно следовать такому алгоритму:
2. Найти производную от функции.
3. Найти на заданном отрезке точки, в которых производная равна нулю, а также все критические точки. Затем выяснить значения функции в этих точках, то есть решить уравнение, где x равно нулю. Выяснить, какое из значений наименьшее.
4. Выявить, какое значение функция имеет на конечных точках. Определить наименьшее значение функции в этих точках.
5. Сравнить полученные данные с наименьшим значением. Меньшее из полученных чисел и будет являться наименьшим значением функции.

Заметьте, что в том случае, если функция на отрезке не имеет наименьших точек, это значит, что на данном отрезке она возрастает или убывает. Следовательно, наименьшее значение следует вычислять на конечных отрезках функции.

Во всех остальных случаях значение функции вычисляется по заданному алгоритму. В каждом пункте алгоритма вам нужно будет решить простое линейное уравнение с одним корнем. Решайте уравнение с помощью рисунка, чтобы избежать ошибок.

Как находить наименьшее значение функции на полуоткрытом отрезке? На полуоткрытом или открытом периоде функции наименьшее значение следует находить следующим образом. На конечных точках значения функции вычислите односторонний предел функции. Другими словами, решите уравнение, в котором стремящиеся точки заданы значением a+0 и b+0, где a и b - названия критических точек.

Теперь Вы знаете, как найти наименьшее значение функции. Главное - все вычисления делать правильно, точно и без ошибок.

Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b ], либо на границе отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b ] необходимо:

1)найти критические точки функции в интервале (a, b );

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x = а и х = b ;

4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Находим критические точки:

Эти точки лежат внутри отрезка ; y (1) = ‒ 3; y (2) = ‒ 4; y (0) = ‒ 8; y (3) = 1;

в точке x = 3 и в точкеx = 0.

Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.

Функция y = f (x ) называется выпуклойвверх на промежутке (a , b ) , если ее график лежит под касательной, проведенной в любой точке этого промежутка, и называется выпуклой вниз (вогнутой) , если ее график лежит над касательной.

Точка, при переходе через которую выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называется точкой перегиба .

Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба:

1. Найдеми критические точки второго рода, то есть точки в которых вторая производная равна нулю или не существует.

2. Нанести критические точки на числовую прямую, разбивая ее на промежутки. Найти знак второй производной на каждом промежутке; если , то функция выпуклая вверх, если, то функция выпуклая вниз.

3. Если при переходе через критическую точку второго рода поменяет знак и в этой точке вторая производная равна нулю, то эта точка ‒ абсцисса точки перегиба. Найти ее ординату.

Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от любой точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение. Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции у = f (х) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть

где ‒ точка разрыва функции, то естьне принадлежит области определения.

Пример.

D (y ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x = 2 ‒ точка разрыва.

Определение. Прямая у = A называется горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) при , если

Пример.

x
y

Определение. Прямая у = k х + b (k ≠ 0) называется наклонной асимптотой графика функции у = f (х) при , где

Общая схема исследования функций и построения графиков.

Алгоритм исследования функции у = f (х) :

1. Найти область определения функцииD (y ).

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат (при x = 0 и при y = 0).

3. Исследовать на четность и нечетность функции(y (‒ x ) = y (x ) ‒ четность; y (‒ x ) = ‒ y (x ) ‒ нечетность).

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы монотонности функции.

6. Найти экстремумы функции.

7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.

8. На основании проведенных исследований построить график функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1) D (y ) =

x = 4 ‒ точка разрыва.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка пересечения с oy .

При y = 0,

3) y (‒ x )= функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

4) Исследуем на асимптоты.

а) вертикальные

б) горизонтальные

в) найдем наклонные асимптоты где

‒уравнение наклонной асимптоты

5) В данном уравнении не требуется найти интервалы монотонности функции.

6)

Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервале (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы.