Для наглядного представления характера деформации брусьев (стержней) при изгибе проводится следующий опыт. На боковые грани резинового бруса прямоугольного сечения наносится сетка линий, параллельных и перпендикулярных оси бруса (рис. 30.7, а). Затем к брусу по его концам прикладываются моменты (рис. 30.7, б), действующие в плоскости симметрии бруса, пересекающей каждое его поперечное сечение по одной из главных центральных осей инерции. Плоскость, проходящая через ось бруса и одну из главных центральных осей инерции каждого его поперечного сечения, будем называть главной плоскостью.

Под действием моментов брус испытывает прямой чистый изгиб. В результате деформации, как показывает опыт, линии сетки, параллельные оси бруса, искривляются, сохраняя между собой прежние расстояния. При указанном на рис. 30.7, б направлении моментов эти линии в верхний части бруса удлиняются, а в нижней - укорачиваются.

Каждую линию сетки, перпендикулярную к оси бруса, можно рассматривать как след плоскости некоторого поперечного сечения бруса. Так как эти линии остаются прямыми, то можно предполагать, что поперечные сечения бруса, плоские до деформации, остаются плоскими и в процессе деформации.

Это предположение, основанное на опыте, как известно, носит название гипотезы плоских сечений, или гипотезы Бернулли (см. § 6.1).

Гипотеза плоских сечений применяется не только при чистом, но и при поперечном изгибе. Для поперечного изгиба она является приближенной, а для чистого изгиба строгой, что подтверждается теоретическими исследованиями, проведенными методами теории упругости.

Рассмотрим теперь прямой брус с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси, заделанный правым концом и нагруженный на левом конце внешним моментом действующим в одной из главных плоскостей бруса (рис. 31.7). В каждом поперечном сечении этого бруса возникают только изгибающие моменты действующие в той же плоскости, что и момент

Таким образом, брус на всем своем протяжении находится в состоянии прямого чистого изгиба. В состоянии чистого изгиба могут находиться отдельные участки балки и в случае действия на нее поперечных нагрузок; например, чистый изгиб испытывает участок 11 балки, изображенной на рис. 32.7; в сечениях этого участка поперечная сила

Выделим из рассматриваемого бруса (см. рис. 31.7) двумя поперечными сечениями элемент длиной . В результате деформации, как это следует из гипотезы Бернулли, сечения останутся плоскими, но наклонятся по отношению друг к другу на некоторый угол Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол оно займет положение (рис. 33.7).

Прямые пересекутся в некоторой точке А, которая является центром кривизны (или, точнее, следом оси кривизны) продольных волокон элемента Верхние волокна рассматриваемого элемента при показанном на рис. 31.7 направлении момента удлиняются, а нижние укорачиваются. Волокна же некоторого промежуточного слоя перпендикулярного к плоскости действия момента сохраняют свою длину. Этот слой называется нейтральным слоем.

Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя, т. е. расстояние от этого слоя до центра кривизны А (см. рис. 33.7). Рассмотрим некоторый слой расположенный на расстоянии у от нейтрального слоя. Абсолютное удлинение волокон этого слоя равно а относительное

Рассматривая подобные треугольники устанавливаем, что Следовательно,

В теории изгиба предполагается, что продольные волокна бруса не давят друг на друга. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это предположение не влияет существенно на результаты расчета.

При чистом изгибе в поперечных сечениях бруса не возникают касательные напряжения. Таким образом, все волокна при чистом изгибе находятся в условиях одноосного растяжения или сжатия.

По закону Гука для случая одноосного растяжения или сжатия нормальное напряжение о и соответствующая относительная деформация связаны зависимостью

или на основании формулы (11.7)

Из формулы (12.7) следует, что нормальные напряжения в продольных волокнах бруса прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя. Следовательно, в поперечном сечении бруса в каждой его точке нормальные напряжения пропорциональны расстоянию у от этой точки до нейтральной оси, представляющей собой линию пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением (рис.

34.7, а). Из симметрии бруса и нагрузки следует, что нейтральная ось горизонтальна.

В точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю; по одну сторону от нейтральной оси они растягивающие, а по другую - сжимающие.

Эпюра напряжений о представляет собой график, ограниченный прямой линией, с наибольшими по абсолютной величине значениями напряжений для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 34.7,б).

Рассмотрим теперь условия равновесия выделенного элемента бруса. Действие левой части бруса на сечение элемента (см. рис. 31.7) представим в виде изгибающего момента остальные внутренние усилия в этом сечении при чистом изгибе равны нулю. Действие правой части бруса на сечение элемента представим в виде элементарных сил о приложенных к каждой элементарной площадке поперечного сечения (рис. 35.7) и параллельных оси бруса.

Составим шесть условий равновесия элемента

Здесь - суммы проекций всех сил, действующих на элемент соответственно на оси - суммы моментов всех сил относительно осей (рис. 35.7).

Ось совпадает с нейтральной осью сечения а ось у перпендикулярна к ней; обе эти оси расположены в плоскости поперечного сечения

Элементарная сила не дает проекций на оси у и и не вызывает момента относительно оси Поэтому уравнения равновесия удовлетворяются при любых значениях о.

Уравнение равновесия имеет вид

Подставим в уравнение (13.7) значение а по формуле (12.7):

Так как (рассматривается изогнутый элемент бруса, для которого ), то

Интеграл представляет собой статический момент поперечного сечения бруса относительно нейтральной оси . Равенство его нулю означает, что нейтральная ось (т. е. ось ) проходит через центр тяжести поперечного сечения. Таким образом, центр тяжести всех поперечных сечений бруса, а следовательно, и ось бруса, являющаяся геометрическим местом центров тяжести, расположены в нейтральном слое. Следовательно, радиус кривизны нейтрального слоя является радиусом кривизны изогнутой оси бруса.

Составим теперь уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил, приложенных к элементу бруса, относительно нейтральной оси :

Здесь представляет собой момент элементарной внутренней силы относительно оси .

Обозначим площадь части поперечного сечения бруса, расположенной над нейтральной осью, - под нейтральной осью.

Тогда представит собой равнодействующую элементарных сил приложенных выше нейтральной оси, ниже нейтральной оси (рис. 36.7).

Обе эти равнодействующие равны друг другу по абсолютной величине, так как их алгебраическая сумма на основании условия (13.7) равна нулю. Эти равнодействующие образуют внутреннюю пару сил, действующую в поперечном сечении бруса. Момент этой пары сил, равный т. е. произведению величины одной из них на расстояние между ними (рис. 36.7), представляет собой изгибающий момент в поперечном сечении бруса.

Подставим в уравнение (15.7) значение а по формуле (12.7):

Здесь представляет собой осевой момент инерции , т. е. оси, проходящей через центр тяжести сечения. Следовательно,

Подставим значение из формулы (16.7) в формулу (12.7):

При выводе формулы (17.7) не учтено, что при внешнем моменте направленном, как это показано на рис. 31.7, согласно принятому правилу знаков, изгибающий момент является отрицательным. Если учесть это, то перед правой частью формулы (17.7) необходимо поставить знак «минус». Тогда при положительном изгибающем моменте в верхней зоне бруса (т. е. при ) значения а получатся отрицательными, что укажет на наличие в этой зоне сжимающих напряжений. Однако обычно знак «минус» в правой части формулы (17.7) не ставится, а эта, формула используется лишь для определения абсолютных значений напряжений а. Поэтому в формулу (17.7) следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента и ординаты у. Знак же напряжений всегда легко устанавливается по знаку момента или по характеру деформации балки.

Составим теперь уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил, приложенных к элементу бруса, относительно оси у:

Здесь представляет собой момент элементарной внутренней силы относительно оси у (см. рис. 35.7).

Подставим в выражение (18.7) значение а по формуле (12.7):

Здесь интеграл представляет собой центробежный момент инерции поперечного сечения бруса относительно осей у и . Следовательно,

Но так как

Как известно (см. § 7.5), центробежный момент инерции сечения равен нулю относительно главных осей инерции.

В рассматриваемом случае ось у является осью симметрии поперечного сечения бруса и, следовательно, оси у и являются главными центральными осями инерции этого сечения. Поэтому условие (19.7) здесь удовлетворяется.

В случае, когда поперечное сечение изгибаемого бруса не имеет ни одной оси симметрии, условие (19.7) удовлетворяется, если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных центральных осей инерции сечения или параллельна этой оси.

Если плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения бруса и не параллельна ей, то условие (19.7) не удовлетворяется и, следовательно, нет прямого изгиба - брус испытывает косой изгиб.

Формула (17.7), определяющая нормальное напряжение в произвольной точке рассматриваемого сечения бруса, применима при условии, что плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных осей инерции этого сечения или ей параллельна. При этом нейтральная ось поперечного сечения является его главной центральной осью инерции, перпендикулярной к плоскости действия изгибающего момента.

Формула (16.7) показывает, что при прямом чистом изгибе кривизна изогнутой оси бруса прямо пропорциональна произведению модуля упругости Е на момент инерции Произведение будем называть жесткостью сечения при изгибе; она выражается в и т. д.

При чистом изгибе балки постоянного сечения изгибающие моменты и жесткости сечений постоянны по ее длине. В этом случае радиус кривизны изогнутой оси балки имеет постоянное значение [см. выражение (16.7)], т. е. балка изгибается по дуге окружности.

Из формулы (17.7) следует, что наибольшие (положительные - растягивающие) и наименьшие (отрицательные-сжимающие) нормальные напряжения в поперечном сечении бруса возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от нее. При поперечном сечении, симметричном относительно нейтральной оси, абсолютные величины наибольших растягивающих и сжимающих напряжений одинаковы и их можно определить по формуле

Для сечений, не симметричных относительно нейтральной оси, например для треугольника, тавра и т. п., расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон различны; поэтому для таких сечений имеются два момента сопротивления:

где - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон.

Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м.

Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб

Рис. 3.12

Решение задачи "прямой поперечный изгиб"

Определяем опорные реакции

Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.

Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:

Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.

Из первого уравнения находим момент в заделке :

Из второго уравнения – вертикальную реакцию :

Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.

В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.

Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.

Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому

кН.

Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому

кН·м.

Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому

кН; кН·м.

Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем

кН;

Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда

кН·м.

кН·м.

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).

Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.

Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

,

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:

.

Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: кН·см.

Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле

см.

Принимаем мм. Тогда

кН/см2 кН/см2.

«Перенапряжение» составляет

,

что допускается.

Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле

,

где – площадь поперечного сечения.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно кН. Тогда

кН/см2 кН/см2,

то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.

Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2

Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м.

Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема

Рис. 3.13

Решение примера задачи на прямой изгиб

Определяем опорные реакции

Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .

Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:

Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.

;

кН.

Делаем проверку: .

Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:

то есть верно.

Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов

Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.

Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН.

Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 3. Закроем правую часть. Получим

Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда

Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН·м.

То есть все верно.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

кН;

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).

Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.

При построении эпюры изгибающих моментов М у строителей при­нято: ординаты, выражающие в определенном масштабе положительные значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. - вниз , а отрицательные - вверх от оси балки. Поэтому говорят, что строители строят эпюры на растянутых волокнах. У механиков положительные значения и поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх. Механики строят эпюры на сжатых волокнах.

Главные напряжения при изгибе. Эквивалентные напряжения .

В общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения . Эти напряжения изменяются как по длине, так и по высоте балки.

Таким образом, в случае изгиба имеет место плоское напряженное состояние.

Рассмотрим схему, где балка нагружена силой Р

Наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних, наиболее удаленных от нейтральной линии точках, а касательные напряжения в них отсутствуют. Таким образом, для крайних волокон ненулевыми главными напряжениями являются нормальные напряжения в поперечном сечении.

На уровне нейтральной линии в поперечном сечении балки возникают наибольшие касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю . значит, в волокнах нейтрального слоя главные напряжения определяются значениями касательных напряжений.

В данной расчетной схеме верхние волокна балки будут растянуты, а нижние – сжаты. Для определения главных напряжений используем известное выражение:

Полный анализ напряженного состояния представим на рисунке.

Анализ напряженного состояния при изгибе

Наибольшее главное напряжение σ 1 находится на верхних крайних волокнах и равно нулю на нижних крайних волокнах. Главное напряжение σ 3 имеет наибольшее по абсолютной величине значение на нижних волокнах.

Траектория главных напряжений зависит от типа нагрузки и способа закрепления балки.

При решении задач достаточно отдельно проверить нормальные и отдельно касательные напряжения. Однако иногда наиболее напряженными оказываются промежуточные волокна, в которых имеются и нормальные, и касательные напряжения. Это происходит в сечениях, где одновременно и изгибающий момент, и поперечная сила достигают больших значений — это может быть в заделке консольной балки, на опоре балки с консолью, в сечениях под сосредоточенной силой или в сечениях с резко меняющейся шириной. К примеру, в двутавровом сечении наиболее опасны места примыкания стенки к полке — там имеются значительные и нормальные, и касательные напряжения.

Материал находится в условиях плоского напряженного состояния и требуется проверка по эквивалентным напряжениям.

Условия прочности балок из пластичных материалов по третьей (теории наибольших касательных напряжений) и четвертой (теория энергии формоизменений) теориям прочности.

Как правило,в прокатных балках эквивалентные напряжения не превышают нормальных напряжений в крайних волокнах и специальной проверки не требуется. Другое дело - составные металлические балки, у которых стенка тоньше , чем у прокатных профилей при той же высоте. Чаще применяются сварные составные балки из стальных листов. Расчет подобных балок на прочность: а) подбор сечения — высоты, толщины, ширины и толщины поясов балки; б) проверка прочности по нормальным и касательным напряжениям; в) проверка прочности по эквивалентным напряжениям.

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении . Рассмотрим сечение двутавра. S x =96,9 см 3 ; Yх=2030 см 4 ; Q=200 кН

Для определения касательного напряжения применяется формула ,где Q — поперечная сила в сечении, S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:

Вычислим статический момент для верхней полки:

Теперь вычислим касательные напряжения:

Строим эпюру касательных напряжений:

Рассмотрим сечение стандартного профиля в виде двутавра и определим касательные напряжения , действующие параллельно поперечной силе:

Рассчитаем статические моменты простых фигур:

Эту величину можно вычислить и иначе , используя то обстоятельство, что для двутаврового и корытного сечения в дан статический момент половины сечения. Для этого необходимо вычесть из известной величины статического момента величину статического момента до линии А 1 В 1:

Касательные напряжения в месте примыкания полки к стенке изменяются скачкообразно , так как резко изменяется толщина стенки от t ст до b .

Эпюры касательных напряжений в стенках корытного, полого прямоугольного и других сечений имеют тот же вид, что и в случае двутаврового сечения. В формулу входит статический момент заштрихованной части сечения относительно оси Х, а в знаменателе ширина сечения (нетто) в том слое, где определяется касательное напряжение.

Определим касательные напряжения для круглого сечения.

Так как у контура сечения касательные напряжения должны быть направлены по касательной к контуру, то в точках А и В у концов какой-либо параллельной диаметру хорде АВ, касательные напряжения направлены перпендикулярно радиусам ОА и ОВ. Следовательно, направления касательных напряжений в точках А , В, К сходятся в некоторой точке Н на оси Y.

Статический момент отсеченной части:

То есть касательные напряжения меняются по параболическому закону и будут максимальны на уровне нейтральной линии, когда у 0 =0

Формула для определения касательных напряжений (формула )

Рассмотрим прямоугольное сечение

На расстоянии у 0 от центральной оси проведем сечение 1-1 и определим касательные напряжения. Статический момент площади отсеченной части:

Следует иметь в виду, что принципиально безразлично , брать статический момент площади заштрихованной или остальной части поперечного сечения. Оба статических момента равны и противоположны по знаку , поэтому их сумма, которая представляет статический момент площади всего сечения относительно нейтральной линии, а именно центральной оси х, будет равна нулю.

Момент инерции прямоугольного сечения:

Тогда касательные напряжения по формуле

Переменная у 0 входит в формулу во второй степени, т.е. касательные напряжения в прямоугольном сечении изменяются по закону квадратной параболы.

Касательные напряжения достигнут максимума на уровне нейтральной линии, т.е. когда у 0 =0:

, где А -площадь всего сечения.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

, где S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение,Q -поперечная сила, τ — касательное напряжение, [τ] — допускаемое касательное напряжение.

Данное условие прочности позволяет производить три вида расчета (три типа задач при расчете на прочность):

1. Проверочный расчет или проверка прочности по касательным напряжениям:

2. Подбор ширины сечения (для прямоугольного сечения):

3.Определение допускаемой поперечной силы (для прямоугольного сечения):

Для определения касательных напряжений рассмотрим балку, нагруженную силами.

Задача по определению напряжений всегда статически неопределима и требует привлечения геометрических и физических уравнений. Однако можно принять такие гипотезы о характере распределения напряжений , что задача станет статически определимой.

Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями 1-1 и 2-2 выделим элемент dz, изобразим его в крупном масштабе, затем проведем продольное сечение 3-3.

В сечениях 1–1 и 2–2 возникают нормальные σ 1 , σ 2 напряжения , которые определяются по известным формулам:

где М — изгибающий момент в поперечном сечении, dМ — приращение изгибающего момента на длине dz

Поперечная сила в сечениях 1–1 и 2–2 направлена вдоль главной центральной оси Y и, очевидно, представляет сумму вертикальных составляющих внутренних касательных напряжений, распределенных по сечению . В сопротивлении материалов обычно принимается допущение о равномерном их распределении по ширине сечения.

Для определения величины касательных напряжений в какой-либо точке поперечного сечения, расположенного на расстоянии у 0 от нейтральной оси Х, проведем через эту точку плоскость, параллельную нейтральному слою (3-3), и вынесем отсеченный элемент. Будем определять напряжение, действующее по площадке АВСД.

Спроецируем все силы на ось Z

Равнодействующая внутренних продольных сил по правой грани будет равна:

где А 0 – площадь фасадной грани, S x 0 – статический момент отсеченной части относительно оси Х . Аналогично на левой грани:

Обе равнодействующие направлены навстречу друг другу, поскольку элемент находится в сжатой зоне балки. Их разность уравновешивается касательными силами на нижней грани 3-3.

Предположим, что касательные напряжения τ распределены по ширине поперечного сечения балки b равномерно . Такое допущение тем вероятнее, чем меньше ширина по сравнению с высотой сечения. Тогда равнодействующая касательных сил dT равна значению напряжений, умноженному на площадь грани:

Составим теперь уравнение равновесия Σz=0:

или, откуда

Вспомним дифференциальные зависимости , согласно которым Тогда получаем формулу:

Эта формула получила название формулы . Эта формула получена в 1855 г. Здесь S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение, Q -поперечная сила в сечении.

— условие прочности при изгибе, где

- максимальный момент (по модулю) с эпюры изгибающих моментов; - осевой момент сопротивления сечения,геометрическая характеристика; - допускаемое напряжение (σ adm)

- максимальное нормальное напряжение.

Если расчет ведется по методу предельных состояний ,то в расчет вместо допускаемого напряжения вводится расчетное сопротивление материала R.

Типы расчетов на прочность при изгибе

1. Проверочный расчет или проверка прочности по нормальным напряжениям

2. Проектный расчет или подбор сечения

3. Определение допускаемой нагрузки (определение грузоподъемност и или эксплуатационной несущей способности)

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту , а поперечная сила оказывается равной нулю . Этот случай изгиба носит название чистого изгиба . Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков , в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза ) . Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил , возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации , а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину . Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине,тогда:

Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Теперь перейдем к напряжениям , т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3), т.е. нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение - это осевой момент инерции сечения относительно оси х - I х . Его размерность см 4 , м 4

Тогда ,откуда (4) ,где - это кривизна изогнутой оси балки, а - жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5)

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение (6) называют осевым моментом сопротивления сечения . Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения: (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения ,т.к. имеется поперечная сила . Касательные напряжения усложняют картину деформирования , они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений . Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5) . Таким образом,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у равен нулю , значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр прямом изгибе взаимно перпендикулярны.

Установив положение нейтральной линии , несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0

Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения при изгибе. Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям.

10. ПРОСТЫЕ ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ

10.1. Общие понятия и определения

Изгиб – это такой вид нагружения, при котором стержень загружен моментами в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня.

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой (или брусом). В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные балки, поперечное сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).

Главными плоскостями инерции балки называют плоскости, проходящие через главные оси поперечных сечений и геометрическую ось балки (ось x ).

Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

10.2. Определение внутренних усилий при изгибе

Рассмотрим два характерных случая изгиба: в первом – консольная балка изгибается сосредоточенным моментом M o ; во втором – сосредоточенной силой F .

Используя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей балки, определим внутренние усилия в том и другом случае:

Остальные уравнения равновесия, очевидно, тождественно равны нулю.

Таким образом, в общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два – изгибающий момент М z и поперечная сила Q y (или при изгибе относительно другой главной оси – изгибающий момент М y и поперечная сила Q z ).

При этом, в соответствии с двумя рассмотренными случаями нагружения, плоский изгиб можно подразделить на чистый и поперечный.

Чистый изгиб – плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно – изгибающий момент (см. первый случай).

Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила (см. второй случай).

Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.

При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков:

1) поперечная сила Q y считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке;

2) изгибающий момент М z считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).

Таким образом, решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе будем выстраивать по следующему плану: 1) на первом этапе, рассматривая условия равновесия конструкции в целом, определяем, если это необходимо, неизвестные реакции опор (отметим, что для консольной балки реакции в заделке можно и не находить, если рассматривать балку со свободного конца); 2) на втором этапе выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или размеров балки, точки закрепления балки; 3) на третьем этапе определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия элементов балки на каждом из участков.

10.3. Дифференциальные зависимости при изгибе

Установим некоторые взаимосвязи между внутренними усилиями и внешними нагрузками при изгибе, а также характерные особенности эпюр Q и M , знание которых облегчит построение эпюр и позволит контролировать их правильность. Для удобства записи будем обозначать: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dx . Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dx будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q и M в общем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dx будут возникать поперечные силы Q и Q +dQ , а также изгибающие моменты M и M +dM . Из условия равновесия выделенного элемента получим

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым q ·dx ·(dx /2) как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем

Соотношения (10.1), (10.2) и (10.3) называют дифференциальными зависимостями Д. И. Журавского при изгибе.

Анализ приведенных выше дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые особенности (правила) построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

а – на участках, где нет распределенной нагрузки q , эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M – наклонными прямыми;

б – на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q , эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M – квадратичными параболами. При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость па-

раболы будет направлена по направлению действия q , а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию;

в – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы; г – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпю-

ре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачки на величину этого момента; д – на участках, где Q >0, момент М возрастает, а на участках, где Q <0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отметим, что в теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

а – гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

– сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

б – гипотеза о постоянстве нормальных напряже-

ний – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

в – гипотеза об отсутствии боковых давлений – со-

седние продольные волокна не давят друг на друга.

Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.

Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.

Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.

Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.

При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q у и изгибающий момент М х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым .

Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.

Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.

Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений , а момент М – сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.

Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость

которая используется при построении и проверке эпюр Q и M.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем . Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линие й или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.

Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения

1) Выполняется гипотеза плоских сечений.

2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения , определяемые по формуле:

где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии

Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии

Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Выберем некоторое сечение

Для любой точки сечения,назовем ее точкой К , условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

, где н.о. — это нейтральная ось

это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Условие прочности по нормальным напряжениям:

Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие.

При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные , так и касательные напряжения.