Косым называют такой вид изгиба, при котором все внешние нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в одной силовой плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей.

Рассмотрим брус, защемленный одним концом и загруженный на свободном конце силой F (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Расчетная схема к косому изгибу

Внешняя сила F приложена под углом к оси y. Разложим силу F на составляющие, лежащие в главных плоскостях бруса, тогда:

Изгибающие моменты в произвольном сечении, взятом на расстоянии z от свободного конца, будут равны:

Таким образом, в каждом сечении бруса одновременно действуют два изгибающих момента, которые создают изгиб в главных плоскостях. Поэтому косой изгиб можно рассматривать как частный случай пространственного изгиба.

Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса при косом изгибе определяются по формуле

Для нахождения наибольших растягивающих и сжимающих нормальных напряжений при косом изгибе необходимо выбрать опасное сечение бруса.

Если изгибающие моменты |М х | и |М у | достигают наибольших значений в некотором сечении, то это и есть опасное сечение. Таким образом,

К опасным сечениям относятся также сечения, где изгибающие моменты |М х | и |М у | одновременно достигают достаточно больших значений. Поэтому при косом изгибе может быть несколько опасных сечений.

В общем случае, когда – несимметричное сечение, т. е. нейтральная ось не перпендикулярна силовой плоскости. Для симметричных сечений косой изгиб невозможен.

11.3. Положение нейтральной оси и опасных точек

в поперечном сечении. Условие прочности при косом изгибе.

Определение размеров поперечного сечения.

Перемещения при косом изгибе

Положение нейтральной оси при косом изгибе определяется по формуле

где угол наклона нейтральной оси к оси х ;

Угол наклона силовой плоскости к оси у (рис. 11.3).

В опасном сечении бруса (в заделке, рис. 11.3) напряжения в угловых точках определяются по формулам:

При косом изгибе, как и при пространственном, нейтральная ось делит сечение бруса на две зоны – зону растяжения и зону сжатия. Для прямоугольного сечения эти зоны показаны на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Схема сечения защемленного бруса при косом изгибе

Для определения экстремальных растягивающих и сжимающих напряжений необходимо провести касательные к сечению в зонах растяжения и сжатия, параллельные нейтральной оси (рис. 11.4).

Наиболее удаленные от нейтральной оси точки касания А и С – опасные точки в зонах сжатия и растяжения соответственно.

Для пластичных материалов, когда расчетные сопротивления материала бруса при растяжении и сжатии равны между собой, т. е. [σ р ] = = [σ c ] = [σ ], в опасном сечении определяется и условие прочности можно представить в виде

Для симметричных сечений (прямоугольник, двутавровое сечение) условие прочности имеет следующий вид:

Из условия прочности вытекает три вида расчетов:

Проверочный;

Проектировочный – определение геометрических размеров сечения;

Определение несущей способности бруса (допускаемой нагрузки).

Если известно соотношение между сторонами поперечного сечения, например, для прямоугольника h = 2b , то из условия прочности защемленного бруса можно определить параметры b и h следующим образом:

или

окончательно .

Аналогичным образом определяются параметры любого сечения. Полное перемещение сечения бруса при косом изгибе с учетом принципа независимости действия сил определяется, как геометрическая сумма перемещений в главных плоскостях.

Определим перемещение свободного конца бруса. Воспользуемся способом Верещагина. Вертикальное перемещение находим перемножением эпюр (рис. 11.5) по формуле

Аналогично определим горизонтальное перемещение:

Тогда полное перемещение определим по формуле

Рис. 11.5. Схема для определения полного перемещения

при косом изгибе

Направление полного перемещения определяется углом β (рис. 11.6):

Полученная формула идентична формуле для определения положения нейтральной оси сечения бруса. Это позволяет сделать вывод, что , т. е. направление прогиба перпендикулярно нейтральной оси. Следовательно, плоскость прогибов не совпадает с плоскостью нагружения.

Рис. 11.6. Схема для определения плоскости прогиба

при косом изгибе

Угол отклонения плоскости прогиба от главной оси y будет тем большим, чем большим будет перемещение. Поэтому для бруса с упругим сечением, у которого отношение J x /J y велико, косой изгиб опасен, так как вызывает большие прогибы и напряжения в плоскости наименьшей жесткости. Для бруса, у которого J x = J y , суммарный прогиб лежит в силовой плоскости и косой изгиб невозможен.

11.4. Внецентренное растяжение и сжатие бруса. Нормальные

напряжения в поперечных сечениях бруса

Внецентренным растяжением (сжатием ) называется такой вид деформации, при котором растягивающая (сжимающая) сила параллельна продольной оси бруса, но точка ее приложения не совпадает с центром тяжести поперечного сечения.

Такой тип задач часто применяется в строительстве при расчете колонн зданий. Рассмотрим внецентренное сжатие бруса. Обозначим координаты точки приложения силы F через х F и у F , а главные оси поперечного сечения – через х и у. Ось z направим таким образом, чтобы координаты х F и у F были положительными (рис. 11.7, а)

Если перенести силу F параллельно самой себе из точки С в центр тяжести сечения, то внецентренное сжатие можно представить как сумму трех простых деформаций: сжатия и изгиба в двух плоскостях (рис. 11.7, б). При этом имеем:

Напряжения в произвольной точке сечения при внецентренном сжатии, лежащей в первом квадранте, с координатами x и y можно найти исходя из принципа независимости действия сил:

квадраты радиусов инерции сечения, то

где x и y – координаты точки сечения, в которой определяется напряжение.

При определении напряжений необходимо учитывать знаки координат как точки приложения внешней силы, так и точки, где определяется напряжение.

Рис. 11.7. Схема бруса при внецентренном сжатии

В случае внецентренного растяжения бруса в полученной формуле следует заменить знак «минус» на знак «плюс».

Pacчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

Pacчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

Целью расчетов на прочность и жесткость при кручении является определение таких размеров поперечного сечения бруса, при которых напряжения и перемещения не будут превышать заданных величин, допускаемых условиями эксплуатации. Условие прочности по допускаемым касательным напряжениям в общем случае записывается в виде Данное условие означает, что наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом брусе, не должны превышать соответствующих допускаемых напряжений для материала. Допускаемое напряжение при кручении зависит от 0 ─ напряжения, соответствующего опасному состоянию материала, и принятого коэффициента запаса прочности n: ─ предел текучести, nт- коэффициент запаса прочности для пластичного материала; ─ предел прочности, nв- коэффициент запаса прочности для хрупкого материала. В связи с тем, что значения в получить в экспериментах на кручение труднее, чем при растяжении (сжатии), то, чаще всего, допускаемые напряжения на кручение принимают в зависимости от допускаемых напряжений на растяжение для того же материала. Так для стали [для чугуна. При расчете скручиваемых брусьев на прочность возможны три вида задач, различающихся формой использования условий прочности: 1) проверка напряжений (проверочный расчет); 2) подбор сечения (проектный расчет); 3) определение допускаемой нагрузки. 1. При проверке напряжений по заданным нагрузкам и размерам бруса определяются наибольшие возникающие в нем касательные напряжения и сравниваются с заданными по формуле (2.16). Если условие прочности не выполняется, то необходимо либо увеличить размеры поперечного сечения, либо уменьшить нагрузку, действующую на брус, либо применить материал более высокой прочности. 2. При подборе сечения по заданной нагрузке и заданной величине допускаемого напряжения из условия прочности (2.16) определяется величина полярного момента сопротивления поперечного сечения бруса По величине полярного момента сопротивления находят диаметры сплошного круглого или кольцевого сечения бруса. 3. При определении допускаемой нагрузки по заданному допускаемому напряжению и полярному моменту сопротивления WP предварительно на основе (3.16) определяется величина допускаемого крутящего момента MK а затем с помощью эпюры крутящих моментов устанавливается связь между K M и внешними скручивающими моментами. Расчет бруса на прочность не исключает возможности возникновения деформаций, недопустимых при его эксплуатации. Большие углы закручивания бруса весьма опасны, так как могут приводить к нарушению точности обработки деталей, если этот брус является конструктивным элементом обрабатывающего станка, либо могут возникнуть крутильные колебания, если брус передает переменные по времени скручивающие моменты, поэтому брус необходимо рассчитывать также на жесткость. Условие жесткости записывается в следующем виде: где ─ наибольший относительный угол закручивания бруса, определяемый из выражения (2.10) или (2.11). Тогда условие жесткости для вала примет вид Величина допускаемого относительного угла закручивания определяется нормами и для различных элементов конструкций и разных видов нагрузок изменяется от 0,15° до 2° на 1 м длины бруса. Как в условии прочности, так и в условии жесткости при определении max или max  будем использовать геометрические характеристики: WP ─ полярный момент сопротивления и IP ─ полярный момент инерции. Очевидно, эти характеристики будут различными для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений при одинаковой площади этих сечений. Путем конкретных расчетов можно убедиться, что полярные моменты инерции и момент сопротивления для кольцевого сечения значительно больше, чем для оплошного круглого сечения, так как кольцевое сечение не имеет площадок, близко расположенных к центру. Поэтому брус кольцевого сечения при кручении является более экономичным, чем брус сплошного круглого сечения, т. е. требует меньшего расхода материала. Однако изготовление такого бруса сложнее, а значит, и дороже, и это обстоятельство также необходимо учитывать при проектировании брусьев, работающих при кручении. Методику расчета бруса на прочность и жесткость при кручении, а также рассуждения об экономичности, проиллюстрируем на примере. Пример 2.2 Сравнить веса двух валов, поперечные размеры которых подобрать для одного и того же крутящего момента MK 600 Нм при одинаковых допускаемых напряжениях 10 Rи 13 Растяжение вдоль волокон р] 7 Rp 10 Сжатие и смятие вдоль волокон [см] 10 Rc , Rcм 13 Смятие поперек волокон (на длине не менее10 см) [см]90 2,5 Rcм 90 3 Скалывание вдоль волокон при изгибе [и] 2 Rcк 2,4 Скалывание вдоль волокон при врубках 1 Rcк 1,2 – 2,4 Скалывание во врубках поперек волокон

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):

здесь - нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке - площадь поперечного сечения бруса.

Произведение представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.

Величину продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения же величин напряжений а в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой а).

Выражение (1.2) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений а (например, при эпюрах а, изображенных на рис. 4.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо провести эксперимент.

Проведем на боковой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 5.2). Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса. При нагружении бруса осевой силой Р эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 5.2 штриховыми линиями). Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), сформулированную в конце § 6.1.

Представим мысленно брус состоящим из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси.

Два любых поперечных сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой.

Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину а за знак интеграла. Таким образом,

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном, растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

При наличии ослаблений некоторых сечений бруса (например, отверстиями для заклепок), определяя напряжения в этих сечениях, следует учитывать фактическую площадь ослабленного сечения равную полной площади уменьшенной на величину площади ослабления

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений. Построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня рассмотрено в примере 1.2.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.

Обозначим а угол между наклонным сечением и поперечным сечением (рис. 6.2, а). Угол а условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением (рис. 6.2, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила действующая в сечении равна Р. Здесь - площадь наклонного сечения равная (где - площадь поперечного сечения бруса).

Следовательно,

где - нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение на два составляющих напряжения: нормальное перпендикулярное к плоскости сечения и касательное та, параллельное этой плоскости (рис. 6.2, в).

Значения и та получим из выражений

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 6.2, в показано положительное касательное напряжение та, а на рис. 6.2, г - отрицательное.

Из формулы (6.2) следует, что нормальные напряжения имеют значения от (при до нуля (при а ). Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента

2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур

2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей

2.6. Главные оси и главные моменты инерции

2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии

2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей

2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур

2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений

Вопросы для самопроверки

3.1. Основные понятия

3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи

3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела

3.4. Главные площадки и главные напряжения

3.5. Экстремальные касательные напряжения

3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии

3.6.1. Главные напряжения

3.6.2. Экстремальные касательные напряжения

3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

4.1. Соотношения Коши

4.2. Относительная деформация в произвольном направлении

4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке

4.4. Объёмная деформация

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии

5.2. Коэффициент Пуассона

5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях

5.4. Закон Гука при сдвиге

5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций

5.6. Теорема Кастильяно

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 6. Механические характеристики материалов

6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов

6.2. Машины для испытания материалов

6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение

6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов

6.7.1. Особенности почвенной среды

6.7.2. Модели механического поведения почв

6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв

6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 7. Теории предельного состояния материала

7.1. Основные понятия

7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)

7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)

7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)

7.8. Теории предельного состояния почв

7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях

7.10. Механика хрупкого разрушения

Вопросы для самопроверки

Глава 8. Растяжение и сжатие

8.1. Напряженное состояние в точках бруса

8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях

8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях

8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)

8.2.1. Перемещение точек оси бруса

8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем

8.3. Расчеты на прочность

8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии

8.5. Статически неопределимые системы

8.5.1. Основные понятия

8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами

8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры

8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 9. Сдвиг и кручение

9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг

9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений

9.1.2. Расчет сварных соединений на срез

9.2. Кручение

9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр

9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения

9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки

9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением

9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага

9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля

9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения

9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

10.1. Общие понятия

10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений

10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе

10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев

10.5. Понятие о центре изгиба

10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе

10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе

10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев

10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования

10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Приложения

ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение

Брус, изображённый на рис. 9.13, имеет четыре участка. Если рассматривать условия равновесия систем сил, приложенных к левой отсеченной части, то можно записать:

Участок 1

a (рис. 9.13, б).

Mx 0 : Mкр m x dx 0 ; Mкр

dx .

Участок 2

a x2

a b (рис. 9.13, в).

Mx 0 : Mкр m x dx M1 0 ; Mкр m x dx M1 .

Участок 3

a b x2

a b c (рис. 9.13, г).

M 0 ;

x dx M .

Участок 4

a b c x2 a b c d .

Mx 0 : Mкр m x dx M1 M2 0 ;

M кр

m x dx M1 M2 .

Таким образом, крутящий момент М кр в поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.

9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения

Как уже упоминалось, полные касательные напряжения можно было бы определить из зависимости (9.14), если бы был известен закон их распределения по сечению бруса. Невозможность аналитического определения этого закона заставляет обратиться к экспериментальному исследованию деформаций бруса.

В. А. Жилкин

Рассмотрим брус, левый торец которого жестко защемлен, а к правому торцу приложен скручивающий момент М кр . До загружения бруса моментом на его поверхность была нанесена ортогональная сетка с размерами ячеек a×b (рис. 9.14, а). После приложения скручивающего момента М кр правый торец бруса повернётся относительно левого торца бруса на угол, при этом расстояния между сечениями скручиваемого бруса не изменятся, а радиусы, проведённые в торцевом сечении, останутся прямыми, т. е. можно предположить, что гипотеза плоских сечений выполняется (рис. 9.14, б). Сечения, плоские до деформации бруса, остаются плоскими и после деформации, поворачиваясь, как жесткие диски, одно относительно другого на некоторый угол. Так как расстояния между сечениями бруса не изменяется, то продольная относительная деформация x 0 равна нулю. Продольные линии сетки принимают винтообразную форму, но расстояние между ними остаётся постоянным (следовательно, y 0 ), прямоугольные ячейки сетки превращаются в параллелограммы, размеры сторон которых не изменяются, т.е. выделенный элементарный объём любого слоя бруса находится в условиях чистого сдвига.

Вырежем двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной dx (рис. 9.15). В результате нагружения бруса правое сечение элемента повернётся относительного левого на угол d . При этом образующая цилиндра повернётся на угол

ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение

сдвига. На тот же угол повернутся все образующие внутренних цилиндров радиуса.

Согласно рис. 9.15 дуга

ab dx d .

где d dx – называется относительным углом закручивания. Если размеры поперечных сечений прямого бруса и крутящие моменты, действующие в них, на некотором участке постоянны, то значение также постоянно и равно отношению полного угла закручивания на этом участке к его длине L , т.е. L .

Переходя по закону Гука при сдвиге (G ) к напряжениям, получаем

Итак, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а величина прямо пропорциональна

В. А. Жилкин

расстоянию точки от центра. В центре (при 0 ) касательные напряжения равны нулю; в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

Подставляя найденный закон распределения напряжений (9.18) в равенство (9.14), получаем

Mкр G dF G 2 dF G J ,

где J d 4 – полярный момент инерции круглого попереч-

ного сечения бруса.

Произведение GJ

называется жесткостью поперечно-

го сечения бруса при кручении.

Единицами измерения жесткости явля-

ются Н·м2 , кН·м2 и т.д.

Из (9.19) находим относительный угол закручивания бруса

M кр

а затем, исключая из равенства (9.18), получаем формулу

для напряжений при кручении бруса круглого сечения

M кр

Наибольшего значения напряжения достигают в кон-

турных точках сечения при d 2 :

M кр

M кр

M кр

называют моментом сопротивления кручению вала круглого поперечного сечения.

Размерность момента сопротивления кручению – см3 , м3 и т. д.

что позволяет определить угол закручивания всего бруса

	GJ кр .

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для М кр или различными значениями жесткости поперечных сечений GJ , то

			Mкр dx

Для бруса длиной L постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами сил с моментом М кр ,

D и внутренним d . Только в этом случае J и W кр надо

вычислять по формулам

		Mкр L

		1 c 4 ; W кр		1 c 4 ; c

Эпюра касательных напряжений в сечении полого бруса приведена на рис. 9.17.

Сравнение эпюр касательных напряжений в сплошном и полом брусе указывает на преимущества полых валов, так как в таких валах материал используется более рационально (убран материал в области действия малых напряжений). В результате распределение напряжений по сечению становится более равномерным, а сам брус более легким,

чем равнопрочный ему брус сплош- Рис. 9.17 ного сечения, несмотря на некото-

рое увеличение наружного диаметра.

Но при проектировании брусьев, работающих на кручение, следует учитывать,что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже.

Растяжение (сжатие) – это вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

При растяжении и сжатии внешние силы приложены вдоль продольной оси z (рисунок 109).

Рисунок 109

Применяя метод сечений, можно определить величину ВСФ – продольную силу N при простом нагружении .

Внутренние силы (напряжения), возникающие в произвольном поперечном сечении при растяжении (сжатии), определяются с помощью гипотезы плоских сечений Бернулли:

Сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси до нагружения, остается таким же и при нагружении.

Отсюда следует, что волокна бруса (рисунок 110) удлиняются на одинаковые величины. Значит внутренние силы (т.е. напряжения), действующие на каждое волокно будут одинаковы и распределены по сечению равномерно.

Рисунок 110

Так как N – равнодействующая внутренних сил, то N = σ · А, згачит нормальные напряжения σ при растяжении и сжатии определяются по формуле:

[Н/мм 2 = МПа], (72)

где А – площадь поперечного сечения.

Пример 24. Два стержня: круглого сечения диаметром d = 4 мм и квадратного сечения со стороной 5 мм растягиваются одинаковой силой F = 1000 Н. Какой из стержней больше нагружен?

Дано : d = 4 мм; а = 5 мм; F = 1000 Н.

Определить : σ 1 и σ 2 – в стержнях 1 и 2.

Решение :

При растяжении продольная сила в стержнях N = F = 1000 Н.

Площади поперечных сечений стержней:

; .

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней:

, .

Так как σ 1 > σ 2 , то первый стержень круглого сечения нагружен больше.

Пример 25. Трос, свитый из 80 проволочек диаметром 2 мм растягивается силой 5 кН. Определить напряжение в поперечном сечении.

Дано: к = 80; d = 2 мм; F = 5 кН.

Определить: σ.

Решение:

N = F = 5 кН, ,

тогда .

Здесь А 1 – площадь сечения одной проволочки.

Примечание : сечение троса – не круг!

2.2.2 Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ по длине бруса

Для расчетов на прочность и жесткость сложно нагруженного бруса при растяжении и сжатии необходимо знать значения N и σ в различных поперечных сечениях.

Для этого строятся эпюры: эпюра N и эпюра σ.

Эпюра – это график изменения продольной силы N и нормальных напряжений σ по длине бруса.

Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части, т.е. по одну сторону от сечения

Внешние силы F, растягивающие брус и направленные в сторону от сечения, считаются положительными.

Порядок построения эпюр N и σ

1 Поперечными сечениями разбиваем брус на участки, границами которых являются:

а) сечения на концах бруса;

б) где приложены силы F;

в) где меняется площадь сечения А.

2 Нумеруем участки, начиная со

свободного конца.

3 Для каждого участка, используя метод

сечений определяем продольную силу N

и строим в масштабе эпюру N.

4 Определяем нормальное напряжение σ

на каждом участке и строим в

масштабе эпюру σ.

Пример 26. Построить эпюры N и σ по длине ступенчатого бруса (рисунок 111).

Дано: F 1 = 10 кН; F 2 = 35 кН; А 1 = 1 см 2 ; А 2 = 2 см 2 .

Решение:

1) Разбиваем брус на участки, границами которых являются: сечения на концах бруса, где приложены внешние силы F, где меняется площадь сечении А – всего получилось 4 участка.

2) Нумеруем участки, начиная со свободного конца:

с I по IV. Рисунок 111

3) Для каждого участка, используя метод сечений, определяем продольную силу N.

Продольная сила N равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части бруса . Причем внешние силы F, растягивающие брус считаются положительными.

Таблица 13

4) Строим в масштабе эпюру N. Масштаб указываем только положительными величинами N, на эпюре знак «плюс» или «минус» (растяжение или сжатие) указывается в кружочке в прямоугольнике эпюры. Положительные величины N откладываются выше нулевой оси эпюры, отрицательные – ниже оси.

5) Проверка (устная): В сечениях, где приложены внешние силы F, на эпюре N будут вертикальные скачки, равные по величине этим силам.

6) Определяем нормальные напряжения в сечениях каждого участка :

; ;

; .

Строим в масштабе эпюру σ.

7) Проверка: Знаки N и σ одинаковы.

Подумай и ответь на вопросы

1) нельзя; 2) можно.

53 Зависят ли напряжения при растяжении (сжатии) стержней от формы их поперечного сечения (квадрат, прямоугольник, круг и др.)?

1) зависят; 2) не зависят.

54 Зависит ли величина напряжения в поперечном сечении от материала, из которого изготовлен стержень?

1) зависит; 2) не зависит.

55 Какие точки поперечного сечения круглого стержня нагружены больше при растяжении?

1) на оси бруса; 2) на поверхности круга;

3) во всех точках сечения напряжения одинаковы.

56 Стержни из стали и дерева с равной площадью поперечного сечения растягиваются одинаковыми силами. Будут ли равны возникающие в стержнях напряжения?

1) в стальном напряжение больше;

2) в деревянном напряжение больше;

3) в стержнях возникнут равные напряжения.

57 Для бруса (рисунок 112) построить эпюры N и σ, если F 1 = 2 кН; F 2 = 5 кН; А 1 = 1,2 см 2 ; А 2 = 1,4 см 2 .