Помощь завода флоту. Стационарный электромагнитный трал Сооружение электроподстанции В первые дни июля я ознакомился с проделанной работой по размагничиванию кораблей. Мне хотелось заниматься этим с учеными из ЛФТИ и со специалистами из НТК ВМФ. С некоторыми из них я

Определение [ | ]

где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .

Терминология [ | ]

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация [ | ]

• Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , где n > 2 {\displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1}, случайные величины (X t 2 − X t 1) {\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , (X t 3 − X t 2) {\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {\displaystyle \ldots } , (X t n − X t n − 1) {\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .

Траектория случайного процесса [ | ]

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .

Понятие стационарного случайного процесса. Характеристики стационарной случайной функции. Спектральная плотность ССФ. Эргодическое свойство ССФ.

Рассмотрение на примерах свойств ССФ;

Определение КФ и спектральной плотности ССФ;

Рассмотрение свойств стационарного белого шума.

Вопросы

Примеры

Пояснение. Стационарно связанными называются две случайные функции X (t ) и Y (t ) , взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов
:
.

Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.

Пример 1 . Задана случайная функция
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале
.

Доказать, что
- стационарная функция.

Решение .

По формуле МО непрерывной случайной величины имеем:

,

т.е.
.

По формуле КФ случайной функции
(см. Тему 10), учитывая, что

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно

Таким образом, МО функции
постоянно при всех значениях аргумента, а КФ зависит только от разности аргументов.

Следовательно,
- стационарная случайная функция.

Пример 2. Заданы две ССФ:
и
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2).

Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Решение. В соответствии с решением предыдущего примера
.

По формуле взаимной КФ двух СФ
и
. (см. пример 2, Тема 10) имеем.

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно .

Так как взаимная КФ зависит только от разности аргументов, то функции X (t ) и Y (t ) являются стационарно связанными.

Пример 3. Нормированная спектральная плотность норм
случайной функцииX (t ) постоянна в интервале частот ,и равна нулю вне этого интервала.

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ).

Решение. Значение норм
при
норм
при
определяется из условия, что площадь, ограниченная кривой
норм
, рана единице.

норм

Далее по формуле Винера – Хинчиа (в действительной форме) определяем нормированную КФ
случайной функцииX(t):

Общие виды функций
и
представлены на рис.1 и рис. 2. Конкретные виды графиков зависят от значений,.

В пределе при
т.е. при
спектр случайной функции обращается в дискретный с одной единственной линией, соответствующей частоте; при этом корреляционная функция обращается в обычную косинусоиду:
.

Замечание. При дискретном спектре с одной линией спектральное разложение ССФ
имеет вид:
, гдеи- некоррелированные случайные величины с МО, равными нулю, и равными дисперсиями:
.

Пример 4. Найти спектральную плотность, ССФ
, если задана её корреляционная функция
.

Решение. По формуле спектральной плоскости ССФ

.

Общие виды функций
и
представлены на рис. 3 и 4.

При уменьшении корреляционная функция будет убывать медленнее; характер изменения случайной функции становится более плавным, в спектре больший «удельной вес» приобретают малые частоты: кривая спектральной плотности вытягивается вверх, сжимаясь с боков; в пределе при
случайная функция выродится в обычную случайную величину с дискретным спектром, состоящим из единственной линии с частотой
.

При увеличении корреляционная функция убывает быстрее, колебания случайной функции становятся более резкими и беспорядочными; в спектре преобладание малых частот становится все менее выраженным; в пределе при
спектр случайной функции приближается к равномерному, так называемому белому спектру, в котором нет преобладания каких – либо частот.

Пример 5. Найти корреляционную функцию стационарного белого шума – стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью
.

Решение. По формуле Винера – Хинчина

.

Учитывая, что
, где
-дельта функция,

имеем
.

Тогда окончательно
.

Пояснение. Формально дельта – функцией
называется такая функция, которая равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента, причем интеграл от дельта – функции, распространенный на сколь угодно малый отрезок, включающий особую точку, равен единице.

Задачи

1. Найти дисперсию ССФ
, зная её спектральную плотность
.

2. Найти спектральную плотность ССФ
, зная её КФ
при
; КФ равна нулю при
.

Тема 12

Стационарные случайные функции(ССФ)

Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой.

Практическое занятие включает:

Определение МО, спектральной плотности и дисперсии ССФ на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме.

Вопросы

1. Дайте определение линейного однородного оператора динамической системы. Перечислите его свойства.

2. Приведите примеры линейных однородных операторов.

3. Дайте характеристику стационарной линейной динамической системы.

4. Что называется передаточной функцией и частотной характеристикой линейной динамической системы?

5. Напишите соотношение, связывающее входную и выходную функции спектральной плотности линейной динамической системы.

Примеры

Пример 1. На вход линейной стационарной динамической системы описываемой уравнением , подается ССФ
с
. Найти МО
на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. , или

Так как X(t) и Y(t) – стационарные функции, а МО производной стационарной функции равно нулю, то 2
, откуда
.

Пример 2 . На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с

Решение. 1). Используя решение примера 4 предыдущего занятия при
и
, получим.

2). Для нахождения передаточной функции запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме: , или,

Следовательно, передаточная функция .

3). Частотная характеристика системы получается из передаточной функции при
:.

4). Спектральная плотность
на выходе системы определяется по формуле

5). Искомая дисперсия находится по формуле

Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем

.

Задачи

1. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с математическим ожиданием
. Найти МО случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением
, поступает ССФ
с постоянной спектральной плотностью(белый шум).

Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

3. На вход линейной стационарной динамической системы с передаточной функцией поступает ССФ Х со спектральной плотностью
. Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

30. Что такое стационарный процесс?

Стационарность - свойство процесса не менять свои характеристики со временем. Имеет смысл в нескольких разделах науки. Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей

Временной ряд – это конечная реализация стохастического процесса: генерации набора случайных переменных Y(t).

Стохастический процесс может быть стационарным и нестационарным. Процесс является стационарным, если

1. Математическое ожидание значений переменных не меняется.

2. Математическое ожидание дисперсий переменных не меняется.

3. Нет периодических флуктуаций.

Распознавание стационарности:

1. График: систематический рост или убывание, волны и зоны высокой волатильности (дисперсии) в длинном ряде сразу видны.

2. Автокорреляция (убывает при росте лага)

3. Тесты тренда: проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента при t.

4. Специальные тесты, включённые в пакеты компьютерных программ Stata,

31.Свойства временных рядов.

Эконометрическую модель можно построить, используя три типа исходных данных:

Данные, характеризующие совокупность различных объек­тов в определенный момент (период) времени: cross sectional data , “пространственные”;

Данные, характеризующие один объект за ряд последова­тельных моментов

(периодов) времени: временные ряды, time series ;

данные, характеризующие совокупность различных объек­тов за ряд последова­тельных моментов времени: panel data , “панельные”.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Он формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно условно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию (тренд ) ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда, например сезонный, недельный; для рядов цен на фондовом рынке характерны непериодические колебания;

случайные факторы.

Модели, которые построены по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных периодов, называются моделями временных рядов.

Каждый уровень временного ряда может формироваться их трендовой (Т), циклической или сезонной компоненты (S), а также случайной (E) компоненты.

Модели, где временной ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными, если в виде произведения – мультипликативными моделями.

Аддитивная модель имеет вид : Y=T+S+E

Мультипликативная модель имеет вид : Y=T*S*E

Построение модели временного ряда :

производят выравнивание временного ряда (например методом скользящей средней); 2. Рассчитывают значения сезонной компоненты; 3. Устраняют сезонную компоненту и получают выровненный ряд; 4. Проводят аналитическое выравнивание уровней (T и E) и расчет значений Е с использованием полученного уравнения тренда; 5. Расчитывают значения Т и Е; 6. Расчитывают абсолютные и относительные ошибки.

Построение аналитической функции при моделировании тренда в любой задаче по эконометрике на временные ряды называют аналитическим выравниванием временного ряда и в основном применяются функции: линейная, степенная, гиперболическая, параболическая и т.д.

Параметры тренда определяются как и в случае линейной регрессии методом МНК, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной – уровни временного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение коэффициента детерминации, критерии Фишера и Стьюдента.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени. Для определения автокорреляции остатков используется критерий Дарбина-Уотсона:

Временной ряд – это датированная целочисленными моментами времени t экономическая переменная. Эта переменная служит количественной характеристикой некоторого экономического объекта, поэтому изменение этой переменной во времени определяется факторами, оказывающими воздействие на данный объект с ходом времени.

Все факторы делятся на 3 класса. 1 класс: факторы («вековые» воздействия), результирующее влияние которых на данный объект на протяжении длительного отрезка времени не изменяют своего направления. Они порождают монотонную составляющую (тенденцию или тренд). 2 класс: факторы (циклические воздействия), результирующее влияние которых на объект совершает законченный круг в течение некоторого фиксированного промежутка времени T. 3 класс: факторы (случайные воздействия),результирующее влияние которых на объект с высокой скоростью меняет направление и интенсивность. 3 Класс факторов позволяют интерпретировать величину в каждый период времени как случайную переменную

Стационарным случайным процессом в узком смысле называется случайный процесс, у которого n -мерная плотность вероятности не изменится, если все отсчеты времени сместить на одну и ту же величину:

Если выбрать , то n -мерная плотность вероятности не будет зависеть от начала отсчета времени

Таким образом, для стационарного процесса одномерная плот­ность вероятности вообще не зависит от времени, а двумерная плот­ность зависит не в отдельности от t 1 и t 2 , а от их разности

В свою очередь, из выражений (2.9) и (2.10) вытекает, что математическое ожидание и дисперсия стационарного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит от t :

(2.11)

(2.12)

Из (2.11), (2.12) и (2.13) следует, что математическое ожи­дание постоянно и поэтому для стационарного процесса характе­ризует постоянную составляющую процесса; постоянность харак­теризует то, что в каждой точке времени t средняя удельная мощность флюктуаций (то есть мощность переменной составляющей) одна и та же; зависимость от означает, что для стационарного процесса неважно, в каких точках t 1 и t 2 берутся сечения, важна разность между ними .

Если условие (2.7) не выполняется, то случайный процесс на­зывается нестационарным . Иногда о стационарности судят только по выполнению равенств (2.9), (2.10) и, соответ­ственно, (2.11) - (2.13). Говорят, что, если выполняются равенства (2.9) и (2.10), то процесс является стационарным, не интересуясь при этом, выполняется условие (2.7) или нет. Такой подход дает более широкое толкование стационарности.

Определение стационарного процесса в широком смысле является более приемлемым для решения практических задач, так как проще получать данные об одномерной и двумерной плотностях вероятнос­ти, чем о многомерной.

В строгом смысле физически не существует стационарных слу­чайных процессов, так как любой процесс должен начаться в опреде­ленный момент времени в прошлом и, вероятно, завершиться в неко­торый момент в будущем. Однако есть много физических ситуаций, когда статистические характеристики процесса не изменяются на интервале времени наблюдения. В этих случаях предположение о стационарности приводит к удобной математической модели, которая является достаточно точной аппроксимацией реальной ситуации.

Эргодическое свойство стационарных случайных процессов

Среди всех стационарных процессов имеется часть, которая об­ладает эргодическим свойством. Поясним это свойство. Пусть имеется одна длинная реализация x (t ) случайного процесса (t ). Эта реализация определена на интервале Найдем среднее значение этой реализации путем ее усреднения во времени на достаточно большом интервале:

(2.14)

где черта сверху означает усреднение по времени, среднее значение является постоянной величиной, не зависящей от t .

Аналогично можно найти среднее значение квадрата флюктуаций и среднее значение произведения флюктуаций, смещенных одна отно­сительно другой на интервал :

(2.15)

По своему физическому смыслу величины (2.14) - (2.16) являются числовыми характеристиками, совпадающими со средним зна­чением, дисперсией и корреляционной функцией процесса (t). Одна­ко они получены в результате усреднения во времени одной длин­ной реализации x(t) или функции от нее.

Говорят, что стационарный процесс обладает эргодическим свойством , если с вероятностью, близкой к еди­нице, числовые характеристики, полученные в результате усреднения одной длинной реализации по времени, равны этим же характеристи­кам, полученным в результате усреднения по ансамблю. При этом ус­реднением по ансамблю называют определение числовых характеристик с использованием плотности вероятности, то есть по формулам (2.11) - (2.13), так как плотность вероятности характеризует всю совокупность или ансамбль реализаций.

Таким образом, для эргодического стационарного процесса справедливы равенства:

, (2.17)

Само слово «эргодический»происходит от греческого «эргон», что означает «работа». Эргодическое свойство является удобной рабо­чей гипотезой для расчета числовых характеристик стационарного процесса, когда располагают одной длинной его реализацией. Физи­чески это обосновано тем, что одна длинная реализация может со­держать сведения обо всех реализациях этого случайного процесса.

Заметим, что стационарность процесса является необходимым, но недостаточным условием эргодичности. Это означает, что не все стационарные процессы являются эргодическими. В общем случае трудно, если только вообще возможно, дока­зать, что эргодичность - обоснованное допущение для какого-либо физического процесса, так как может наблюдаться только одна реа­лизация этого процесса. Тем не менее, обычно имеет смысл предполо­жить эргодичность процесса, если только отсутствуют веские доводы физического характера, препятствующие этому.