Существование верхней (нижней) грани. Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
Ограниченное множество. Точные грани
Формула Муавра
Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.
z n =r n e in j =r n (cos n j + i sin n j). (3)
Формула (3) доказывается индукцией по n .
Умножение комплексных чисел
При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n , докажем ее для n +1. Имеем:
Для заданного найдем, удовлетворяющее уравнению. Другими словами, найдем корень n -ой степени из комплексного числа. Имеем r n e in j =re i y Þ n j=y+2pk, kÎ Z , r= откуда получаем формулы
которые используются для вычисления корня n -ой степени из комплексного числа. Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n . Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный.
Пример. Вычислить. В этом случае, поэтому принимает три значения:
Рис. 1.7
Замечание : Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C .
1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
Ограниченность и грани множества.
Ограниченное сверху множествоE: $b "x ÎE: x £ b.
b - верхняя грань множества :"xÎE:x £ b.
Ограниченное снизумножество: $a "x ÎE : x ³ a.
a - нижняя грань множества: "xÎE: x ³ a.
Точная верхняя грань множества: b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - верхняя грань) "x ÎE: x £b.
2) ( нет меньшей ) "e>0 $ x ÎE: x > b- e.
Аналогичноопределяется точная нижняя грань a = inf E . Ограниченное множествоE: $b "x ÎE: .
Замечание: Если b = sup E , то -b = inf E¢ , где E¢ - зеркальное к E множество, E¢= {xÎR: (-x )ÎE }.
Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.
Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и a ÎE. Обозначим через [a 1 ,b 1 ] отрезок, если в нем есть точки из E. В противном случае через [a 1 ,b 1 ] обозначим отрезок
Рис. 1.8
Отметим свойства этого построенного отрезка:
1) "xÎE: x £ b 1 .
2) E Ç[a 1 ,b 1 ] ¹ Æ .
Эту процедуру повторим для [a 1 ,b 1 ], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [a k ,b k ], удовлетворяющих свойствам:
1)"xÎE: x £ b k .
2) E Ç[a k ,b k ] ¹ Æ .
Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [a k ,b k ] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой. Через [a k + 1 ,b k + 1 ] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E . Если оба содержат
Рис. 1.9
точки из E, то [a k + 1 ,b k + 1 ] пусть будет правый отрезок. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков b k - a k = (b - a )/ 2 k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:
1) "x ÎE: x £ c.
Предположим противное: $x ÎE:x>c , возьмем, для него существует тогда, откуда следует b n < x , что противоречит условию x Î[a n ,b n ].
Рис. 1.10
2) "e > 0 $xÎE: x > c - e.
Для любого e существует n: b n - a n < e . Выберем какое либо x Î[a n ,b n ] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того
c-x£ b n - a n < e . Таким образом, найдено требуемое x .
Рис. 1.11
Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань .
Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.
Доказательство : Пусть имеются две точных грани b 2 , b 1 , b 1 2 . Возьмет e = b 2 - b 1 > 0. По определению точной верхней грани (для b 2) $ x ÎE: x > b 2 - e = b 1 , что противоречит тому, что b 1 верхняя грань.
Рис. 1.12
Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.
Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.
Глава 2. Последовательности
2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.
Ограниченное множество. Точные грани
Формула Муавра
Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.
z n =r n e in j =r n (cos n j + i sin n j). (3)
Формула (3) доказывается индукцией по n .
Умножение комплексных чисел
При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n , докажем ее для n +1. Имеем:
Для заданного найдем, удовлетворяющее уравнению.Другими словами, найдем корень n -ой степени из комплексного числа. Имеем r n e in j =re i y Þ n j=y+2pk, kÎ Z , r= откуда получаем формулы
которые используются для вычисления корня n -ой степени из комплексного числа. Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n . Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный.
Пример. Вычислить. В этом случае, поэтому принимает три значения:
Рис. 1.7
Замечание : Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C .
1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
Ограниченность и грани множества.
Ограниченное сверху множествоE: $b "x ÎE: x £ b.
b - верхняя грань множества :"xÎE:x £ b.
Ограниченное снизумножество: $a "x ÎE : x ³ a.
a - нижняя граньмножества: "xÎE: x ³ a.
Точная верхняя грань множества:b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - верхняя грань) "x ÎE: x £b.
2) ( нет меньшей ) "e>0 $ x ÎE: x > b- e.
Аналогичноопределяется точная нижняя грань a = inf E . Ограниченное множествоE: $b "x ÎE: .
Замечание: Если b = sup E , то -b = inf E¢ , где E¢ - зеркальное к E множество, E¢= {xÎR: (-x )ÎE }.
Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.
Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и a ÎE. Обозначим через [a 1 ,b 1 ] отрезок, если в нем есть точки из E. В противном случае через [a 1 ,b 1 ] обозначим отрезок
Рис. 1.8
Отметим свойства этого построенного отрезка:
1) "xÎE: x £ b 1 .
2) E Ç[a 1 ,b 1 ] ¹ Æ .
Эту процедуру повторим для [a 1 ,b 1 ], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [a k ,b k ], удовлетворяющих свойствам:
1)"xÎE: x £ b k .
2) E Ç[a k ,b k ] ¹ Æ .
Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [a k ,b k ]с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой. Через [a k + 1 ,b k + 1 ] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E . Если оба содержат
Рис. 1.9
точки из E, то [a k + 1 ,b k + 1 ] пусть будет правый отрезок. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков b k - a k = (b - a )/ 2 k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:
1) "x ÎE: x £ c.
Предположим противное: $x ÎE:x>c , возьмем, для него существует тогда, откуда следует b n < x , что противоречит условию x Î[a n ,b n ].
Рис. 1.10
2)"e> 0$xÎE: x > c - e.
Для любого e существует n: b n - a n < e . Выберем какое либо x Î[a n ,b n ] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того
c-x£ b n - a n < e . Таким образом, найдено требуемое x .
Рис. 1.11
Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань .
Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.
Доказательство : Пусть имеются две точных грани b 2 , b 1 , b 1 2 . Возьмет e = b 2 - b 1 > 0. Поопределению точной верхней грани (для b 2)$ x ÎE: x > b 2 - e = b 1 , что противоречит тому, что b 1 верхняя грань.
Рис. 1.12
Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.
Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.
Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней (точной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства. Докажем следующую основную теорему.
Основная теорема 2.1. Если Множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, ограничено сверху (соответственно снизу) и содержит хотя бы один элемент, то у этого множества существует точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань.
Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично.
Итак, пусть множество ограничено сверху, т. е. существует такое число М, что каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству
Могут представиться два случая:
1°. Среди элементов множества есть хотя бы одно неотрицательное число. 2°. Все элементы множества являются отрицательными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно.
1°. Рассмотрим лишь неотрицательные числа, входящие в состав множества Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих десятичных дробей. В силу неравенства все целые части не превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна а первый десятичный знак равен и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого числа
Докажем, что это число х и является точной верхней гранью множества Для этого достаточно доказать два утверждения: 1) каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству 2) каково бы ни было число х, меньшее х, найдется хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству
Докажем сначала утверждение 1). Так как х по построению является неотрицательным числом, то любой отрицательный элемент х множества заведомо удовлетворяет неравенству
Поэтому нам достаточно доказать, что любой неотрицательный элемент х множества удовлетворяет неравенству
Предположим, что некоторый неотрицательный элемент не удовлетворяет неравенству Тогда и по правилу упорядочения найдется номер такой, что Но последние соотношения противоречат
тиворечат тому, что в качестве берется наибольший из десятичных знаков тех элементов которых целая часть и первые знаков после запятой соответственно равны
Полученное противоречие доказывает утверждение 1).
Докажем теперь утверждение 2). Пусть х - любое число, удовлетворяющее условию Требуется доказать, что существует хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству
Если число х является отрицательным, то неравенству заведомо удовлетворяет неотрицательный элемент х множества (по предположению хотя бы один такой элемент существует).
Остается рассмотреть случай, когда число х, удовлетворяющее условию является неотрицательным. Пусть Из условия и из правила упорядочения вытекает, что найдется номер такой, что
С другой стороны, из построения числа (2.9) вытекает, что для любого номера найдется неотрицательный элемент множества такой, у которого целая часть и все первые знаков после запятой те же, что у числа х. Иными словами, для номера найдется элемент х такой, для которого
Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.
Терема о существовании верхней (нижней) грани. Сначала введем несколько определений.
Определение . Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из множества X .
Определение . Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из множества X .
Определение . Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.
В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:
множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,
ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m и
ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .
Определение. Для любого числа a R неотрицательное число
называется его абсолютной величиной или модулем . Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|< |a| , которое вытекает из определения модуля числа и из аксиом сложения и порядка.
Теорема 4.3.1 . Числовое множество X ограничено тогда и только тогда, когда существует число C такое, что для всех элементов x из этого множества выполняется неравенство ≤ C.
Доказательство. Пусть множество X ограничено. Положим C =max(m, M) - наибольшее из чисел m и M. Тогда, используя свойства модуля вещественных чисел, получим неравенства x ≤M≤M ≤C и x≥m≥ −m≥ −C , откуда следует, что ≤ C .
Обратно, если выполняется неравенство ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Это и есть требуемое, если положить M = C и m = −C .◄
Число M , ограничивающее множество X сверху, называется верхней границей множества . Если M - верхняя граница множества X , то любое число M′ , которое больше M , тоже будет верхней границей этого множества. Таким образом, мы можем говорить о множестве верхних границ множества X . Обозначим множество верхних границ через . Тогда, ∀x ∈ X и ∀M ∈ будет выполнено неравенство x ≤M , следовательно, по аксиоме непрерывности существует число такое, что x ≤ ≤ M . Это число называется точной верхней границей числового множества X или верхней гранью этого множества или супремумом множества X и обозначается =sup X . Таким образом, мы доказали, что каждое непустое числовое множество, ограниченное сверху, всегда имеет точную верхнюю границу.
Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:
1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. - верхняя граница множества X ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > −ε , т.е. эту границу нельзя улучшить (уменьшить).
Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гранью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство =inf X равносильно условиям:
1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε < + ε .
Если в множестве X есть наибольший элемент , то будем называть его
максимальным элементом множества X и обозначать = max X . Тогда
supX = . Аналогично, если в множестве существует наименьший элемент, то его будем называть минимальным, обозначать minX и он будет являться инфимумом множества X .
Cформулируем несколько свойств верхних и нижних граней:
Свойство 1 . Пусть X - некоторое числовое множество. Обозначим через −X множество {− x| x ∈ X } . Тогда sup (− X) = − inf X и inf (− X) = − sup X .
Свойство 2. Пусть X - некоторое числовое множество λ – вещественное число. Обозначим через λX множество {λx | x ∈ X } . Тогда если λ ≥ 0 , то sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infX и, если λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .
Свойство 3 . Пусть X1 и X2 - числовые множества. Обозначим через X1+X2 множество { x1+ x2| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 } и через X1 − X2 множество {x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2} . Тогда sup(X1 + X2)=supX1+supX2 , inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .
Свойство 4 . Пусть X1 и X2 - числовые множества, все элементы которых неотрицательны. Тогда sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .
Докажем например первое равенство свойства 3. Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2. Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 и x ≤ sup X1 + sup X2 , откуда sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .
Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y
Принцип Архимеда и существование верхней и нижней граней можно постулировать как аксиому вместо аксиомы непрерывности, тогда аксиома непрерывности будет следовать из этой новой аксиомы. (Попробуйте доказать самостоятельно).
Похожие статьи
-
Мытарства души после смерти: что происходит после смерти
Понимание посмертной жизни души очень важно для каждого верующего религиозного человека. Ответив на вопрос, что нас ждет после смерти, что такое душа, мы понимаем, что такое человек и как нужно жить, чтобы не погибнуть для вечности....
-
Штомпка анализ современных обществ
Теория структурации Э. Гидденса послужила в определенной мере толчком для появления в 1990-х гг. работ польского социолога Петра Штомпки (ныне президента Международной социологической ассоциации), посвященных комплексному и целостному...
-
Поиск презентаций. это будет их проект
Презентация: Творческий проект с использованием ученика 1-5 класса МОУ Гимназии 26 Девяткина Дмитрия «Правила поведения младшего школьника при чрезвычайных ситуациях.» Творческий проект с использованием ученика 1-5 класса МОУ Гимназии 26...
-
Когда наступает Новый год Свиньи по китайскому календарю?
Восточная культура и китайские традиции прочно прижились в нашей повседневной жизни, стали и нашими привычками и традициями. Праздновать Новый год по-восточному сегодня стали многие люди, другие же хоть и не празднуют, но какое животное...
-
Сочинение по картине К.Ф.Юона На тему: «Весенний солнечный день. Описание картины К. Юона "Весенний солнечный день" Весенний солнечный день небо
К. Ф. Юон является замечательным и талантливым мастером живописи, которому удалось создать множество примечательных картин. Особое внимание уделялось художником написанию природных особенностей родного края, которые изображены на его...
-
Крымский гуманитарный университет (КГУ)
г.Ялта, пгт. Массандра, ул. Стахановская, 11 Становление и развитие современной кафедры педагогики и управления учебными заведениями начинается с деятельности цикловой комиссии при Ялтинском педагогическом училище. В 1994 году одновременно...