Из курса алгебры школьной программы переходим к конкретике. В этой статье мы подробно изучим особый вид рациональных выражений – рациональные дроби , а также разберем, какие характерные тождественные преобразования рациональных дробей имеют место.

Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определим ниже, в некоторых учебниках алгебры называют алгебраическими дробями. То есть, в этой статье мы под рациональными и алгебраическими дробями будем понимать одно и то же.

По обыкновению начнем с определения и примеров. Дальше поговорим про приведение рациональной дроби к новому знаменателю и о перемене знаков у членов дроби. После этого разберем, как выполняется сокращение дробей. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Всю информацию будем снабжать примерами с подробными описаниями решений.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных дробей

Рациональные дроби изучаются на уроках алгебры в 8 классе. Мы будем использовать определение рациональной дроби, которое дается в учебнике алгебры для 8 классов Ю. Н. Макарычева и др.

В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.

Приведем несколько примеров рациональных дробей . Так , x/8 и - рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них в числителе стоит не многочлен, а во второй и в числителе и в знаменателе находятся выражения, не являющиеся многочленами.

Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель любой дроби представляют собой самодостаточные математические выражения, в случае рациональных дробей – это многочлены, в частном случае – одночлены и числа. Поэтому, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить тождественные преобразования. Иными словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменять тождественно равным ему выражением, как и знаменатель.

В числителе и знаменателе рациональной дроби можно выполнять тождественные преобразования . Например, в числителе можно провести группировку и приведение подобных слагаемых, а в знаменателе – произведение нескольких чисел заменить его значением. А так как числитель и знаменатель рациональной дроби есть многочлены, то с ними можно выполнять и характерные для многочленов преобразования, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.

Для наглядности рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы в числителе оказался многочлен стандартного вида, а в знаменателе – произведение многочленов.

Решение.

Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном применяется при сложении и вычитании рациональных дробей .

Изменение знаков перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби можно использовать для смены знаков у членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 равносильно смене их знаков, а в результате получится дробь, тождественно равная данной. К такому преобразованию приходится достаточно часто обращаться при работе с рациональными дробями.

Таким образом, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению отвечает равенство .

Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить тождественно равной ей дробью с измененными знаками числителя и знаменателя вида .

С дробями можно провести еще одно тождественное преобразование, при котором меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе. Озвучим соответствующее правило. Если заменить знак дроби вместе со знаком числителя или знаменателя, то получится дробь, тождественно равная исходной. Записанному утверждению соответствуют равенства и .

Доказать эти равенства не составляет труда. В основе доказательства лежат свойства умножения чисел. Докажем первое из них: . С помощью аналогичных преобразований доказывается и равенство .

Например, дробь можно заменить выражением или .

В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и . То есть, если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и .

Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак у членов дроби, часто применяются при преобразовании дробно рациональных выражений.

Сокращение рациональных дробей

В основе следующего преобразования рациональных дробей, имеющего название сокращение рациональных дробей, лежит все тоже основное свойство дроби. Этому преобразованию соответствует равенство , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c - ненулевые.

Из приведенного равенства становится понятно, что сокращение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Сразу виден общий множитель 2 , выполним сокращение на него (при записи общие множители, на которые сокращают, удобно зачеркивать). Имеем . Так как x 2 =x·x и y 7 =y 3 ·y 4 (при необходимости смотрите ), то понятно, что x является общим множителем числителя и знаменателя полученной дроби, как и y 3 . Проведем сокращение на эти множители: . На этом сокращение завершено.

Выше мы выполняли сокращение рациональной дроби последовательно. А можно было выполнить сокращение в один шаг, сразу сократив дробь на 2·x·y 3 . В этом случае решение выглядело бы так: .

Ответ:

.

При сокращении рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель рациональной дроби разложить на множители. Если общего множителя нет, то исходная рациональная дробь не нуждается в сокращении, в противном случае – проводится сокращение.

В процессе сокращения рациональных дробей могут возникать различные нюансы. Основные тонкости на примерах и в деталях разобраны в статье сокращение алгебраических дробей .

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование является тождественным, а основная сложность в его проведении заключается в разложении на множители многочленов в числителе и знаменателе.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Достаточно специфическим, но в некоторых случаях очень полезным, оказывается преобразование рациональной дроби, заключающееся в ее представлении в виде суммы нескольких дробей, либо сумме целого выражения и дроби.

Рациональную дробь, в числителе которой находится многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, . Такое представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями .

Вообще, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей множеством различных способов. Например, дробь a/b можно представить как сумму двух дробей – произвольной дроби c/d и дроби, равной разности дробей a/b и c/d . Это утверждение справедливо, так как имеет место равенство . К примеру, рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей различными способами: Представим исходную дробь в виде суммы целого выражения и дроби. Выполнив деление числителя на знаменатель столбиком, мы получим равенство . Значение выражение n 3 +4 при любом целом n является целым числом. А значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1 , −1 , 3 или −3 . Этим значениям отвечают значения n=3 , n=1 , n=5 и n=−1 соответственно.

Ответ:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

В школе VIII вида учащиеся знакомятся со следующими преоб­разованиями дробей: выражением дроби в более крупных долях (6-й класс), выражением неправильной дроби целым или смешан­ным числом (6-й класс), выражением дробей в одинаковых долях (7-й класс), выражением смешанного числа неправильной дробью (7-й класс).

Выражение неправильной дроби целым или смешанным числом

Изучение данного материала следует начать с задания: взять 2 равных круга и каждый из них разделить на 4 равные доли, подсчи­тать количество четвертых долей (рис. 25). Далее предлагается записать это количество дробью . Затем четвертые доли при-

кладываются друг к другу и ученики убеждаются, что получился целый круг. Следовательно,К четырем четвертям добавляет-

ся последовательно еще по и ученики записывают:

Учитель обращает внимание учащихся на то, что во всех рас­смотренных случаях они брали неправильную дробь, а в результа­те преобразования получали или целое, или смешанное число, т. е. выражали неправильную дробь целым или смешанным чис­лом. Далее надо стремиться к тому, чтобы учащиеся самостоятель­но определили, каким арифметическим действием это преобразова­ние можно выполнить. Яркими примерами, приводящими к ответу на вопрос, являются: Вывод: чтобы

выразить неправильную дробь целым или смешанным числом, нужно числитель дроби разделить на знаменатель, частное запи­сать целым числом, остаток записать в числитель, а знаменатель оставить тот же. Так как правило громоздкое, совсем не обяза­тельно, чтобы учащиеся заучивали его наизусть. Они должны уметь последовательно рассказать о действиях при выполнении данного преобразования.

Перед тем как познакомить учащихся с выражением непра­вильной дроби целым или смешанным числом, целесообразно по­вторить с ними деление целого числа на целое с остатком.

Закреплению нового для учащихся преобразования способству­ет решение задач жизненно-практического характера, например:

«В вазе лежит девять четвертых долей апельсина. Сколько целых апельсинов можно сложить из этих долей? Сколько четвер­тых долей останется?»

Выражение целого и смешанного числа неправильной дробью

Знакомству учащихся с этим новым преобразованием должно предшествовать решение задач, например:

«2 равных по длине куска ткани, имеющих форму квадрата, разрезали на 4 равные части. Из каждой такой части сшили платок. Сколько получилось платков?» .

Далее учитель предлагает учащимся выполнитьтакое задание: «Возьмите целый круг и еще половину круга, равного по разме­ру первому. Разрежьте целый круг пополам. Сколько всего поло­винполучилось? Запишите: было круга, стало круга.

Таким образом, опираясь на наглядно-практическую основу, рассматриваем еще ряд примеров. В рассматриваемых примерах учащимся предлагается сравнить исходное число (смешанное или целое) и число, которое получилось после преобразования (непра­вильная дробь).

Чтобы познакомить учеников с правилом выражения целого и смешанного числа неправильной дробью, надо привлечь их внима­ние к сравнению знаменателей смешанного числа и неправильной дроби, а также к тому, как получается числитель, например:

будет 15/4. В итоге формулируется правило: чтобы смешанное число выразить неправильной дробью, надо знаменатель умножить на целое число, прибавить к произведению числитель и сумму запи­сать числителем, а знаменатель оставить без изменения.

Вначале нужно упражнять учащихся в выражении неправиль­ной дробью единицы, затем любого другого целого числа с указа­нием знаменателя, а уже затем смешанного числа-

Основное свойство дроби 1

Понятие неизменяемости дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов, т. е. числителя и знаменателя, усваи­вается учащимися школы VIII вида с большим трудом. Это поня­тие необходимо вводить на наглядном и дидактическом материале, причем важно, чтобы учащиеся не только наблюдали за деятель­ностью учителя, но и сами активно работали с дидактическим материалом и на основе наблюдений и практической деятельности приходили к определенным выводам, обобщению.

Например, учитель берет целую репу, делит ее на 2 равные части и спрашивает: «Что получили при делении целой репы пополам? (2 половины.) Покажите репы. Разрежем (разделим) половину репы еще на 2 равные части. Что получим? Запишем: Сравним числители и знаменатели этих дробей. Во сколько

раз увеличился числитель? Во сколько раз увеличился знамена­тель? Во сколько раз увеличились и числитель, и знаменатель? Изменилась ли дробь? Почему не изменилась? Какими стали доли: крупнее или мельче? Увеличилось или уменьшилось число долей?»

Затем все учащиеся делят круг на 2 равные части, каждую половину делят еще на 2 равные части, каждую четверть еще на 2 равные части и т. д. и записывают: и т. д. Потом

устанавливают, во сколько раз увеличился числитель и знамена­тель дроби, изменилась ли дробь. Затем чертят отрезок и делят его последовательно на 3, 6, 12 равных частей и записывают:

При сравнении дробей обнаруживается, что

числитель и знаменатель дроби увеличивается в одно и то же число раз, дробь от этого не изменяется.

После рассмотрения ряда примеров следует предложить уча­щимся ответить на вопрос: «Изменится ли дробь, если числитель

Некоторые знания по теме «Обыкновенные дроби» исключаются из учебных программ по математике в коррекционных школах VIII вида, но они сообщаются учащимся в школах для детей с задержкой психического развития, в классах выравнивания для детей, испытывающих трудности в обучении математике. В данном учебнике параграфы, где дается методика изучения этого материала, обозначены звездочкой (*).

и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличить в одно и то же число раз)?» Кроме того, надо попросить учащихся самим привести примеры.

Аналогичные примеры приводятся при рассмотрении уменьше­ния числителя и знаменателя в одно и то же число раз (числитель и знаменатель делятся на одно то же число). Например, круг делят на 8 равных частей, берут 4 восьмые доли круга,

укрупнив доли, берут четвертые, их будет 2. Укрупнив доли, берут вторые. Их будет Сравнивают последовательно

числители и знаменатели этих дробей, отвечая на вопросы: «Во сколько раз уменьшается числитель и знаменатель? Изменится ли дробь?*.

Хорошим пособием являются полосы, разделенные на 12, 6, 3 равные части (рис. 26).

На основании рассмотренных примеров учащиеся могут сде­лать вывод: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одно и то же число раз). Затем дается обобщенный вывод - основное свойство дроби: дробь не изме­нится, если числитель и знаменатель дроби увеличить или умень­шить в одно и то же число раз.

Сокращение дробей

Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преоб­разованию дробей. Как известно, сократить дробь - это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число. Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.

За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа - предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят 1 в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби, 3

например подобрать делитель - для числителя и знаменателя (опорой для выполнения такого действия является таблица умно­жения).

какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали круп­нее доли:Вид дроби стал проще. Учащиеся подводятся к выводу правиласокращения дробей.

Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подо­брать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого характера, как 4/12=2/6 т. е. ученик не нашел наибольший общий

делитель для чисел4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. но при этом спрашивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знамена­телями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравни­вать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразова­ния, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, на­пример, такие задания:

Сравнить дроби 2/5,2/7,2/3 Сказать правило сравнения дробей с

одинаковыми числителями.

Сравнить дроби Сказать правило сравнения дробей

с одинаковыми знаменателями.

Сравнить дроби Эти дроби учащиеся сравнить затрудня-

ются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знамена­тели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате­ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

Учащихся необходимо познакомить со способом выражения дробей в одинаковых долях.

Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.

Например, у дробей знаменателями являются числа 8 и 2.

Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлага­ет меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби умно­жить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим дробь Теперь дроби выражены в одинаковых долях. Их

легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.

Найти число, на которое нужно умножить меньший знамена­тель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умно­жить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате­лями. Например, даны дроби Чтобы эти дроби привести

к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Дробь примет вид . Затем 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Дробь примет вид Следовательно, дроби примут соответственно вид т. е. окажутся выражен-

ными в одинаковых долях.

Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.

Например, надо выразить в одинаковых долях дроби

Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно.его

записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, и

Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший зна­менатель не делится на меньший и, следовательно, не является

общим для данных дробей. Например, Знаменатель 8 не

делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем после­довательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-

3 5 пример, чтобы дроби тг и * были выражены в одинаковых долях,

больший знаменатель 8 умножаем на 2(8x2=16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8x3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 - общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знамена­тели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3 увеличим в 3 раза.

Дробь примет вид Знаменатель 6 увеличили в 4 раза. Соответственно числитель 5 дроби надо увеличить в 4 раза. Дроби примут соответственно вид

Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правилу) и знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых долях. Например, даны две дроби ¾ и 5/7

1. Находим наименьший общий знаменатель: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 - наименьший общий знаме­
натель для дробей

2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,

3. Запишем их над дробями:

4. Числители дробей умножим на дополнительные множители:
3x7=21, 5x4=20.

Получим дроби с одинаковыми знаменателями .Значит,

дроби мы привели к общему наименьшему знаменателю.

Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразованием дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф­метических действий с дробями. Например, сокращение дробей или замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб­разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина­ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разности

Придется делать либоодно, либо оба преобразования.

Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа неправильной дробью - перед темой «Умножение и деление дро­бей на целое число».

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаме­нателями.

Исследование, проведенное Алышевой Т.В. 1 , свидетельствует о целесообразности при изучении действий сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями использовать аналогию со сложением и вычитанием уже известных учащимся

чисел, полученных в результате измерения величин, и проводить изучение действий дедуктивным методом, т. е. «от общего к част­ному».

Сначала повторяется сложение и вычитание чисел с наимено­ваниями мер стоимости, длины. Например, 8 р. 20 к. ± 4 р. 15 к. При выполнении устного сложения и вычитания нужно склады­вать (вычитать) сначала рубли, а потом копейки.

3 м 45 см ± 2 м 24 см - сначала складываются (вычитаются) метры, а потом сантиметры.

При сложении и вычитании дробей рассматривается общий случай: выполнение этих действий со смешанными дррбями (зна­менатели одинаковые): В этом случае надо: «Сложить (вычесть) целые числа, затем числители, а знаменатель остается тем же». Это общее правило распространяется на все случаи сложения и вычитания дробей. Постепенно вводятся частные слу­чаи: сложение смешанного числа с дробью, потом смешанного числа с целым. После этого рассматри­ваются более трудные случаивычитания: 1) из смешанного числа дроби: 2) из смешанного числа целого:

После усвоения этих достаточно простых случаев вычитания учащиеся знакомятся с более трудными случаями, когда требуется преобразование уменьшаемого: вычитание из одной целой едини­цы или из нескольких единиц, например:

В первом случае единицу нужно представить в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого. Во втором слу­чае из целого числа берем единицу и также ее записываем в виде неправильной дроби со знаменателем вычитаемого, получаем в уменьшаемом смешанное число. Вычитание выполняется по обще­му правилу.

Наконец рассматривается наиболее трудный случай вычитания: из смешанного числа, причем числитель дробной части меньше числителя в вычитаемом. В этом случае надо уменьшаемое изменить так, чтобы можно было применить общее правило, т. е. в уменьшаемом занять из целого одну единицу и раздробить

в пятые доли, получим да еще , получится пример

примет такой вид:к его решению уже можно применить

общее правило.

Использование дедуктивного метода обучения сложению и вычи­танию дробей будет способствовать развитию у учащихся умения обобщать, сравнивать, дифференцировать, включать отдельные слу­чаи вычислений в общую систему знаний о действиях с дробями.

Эта статья посвящена преобразованию рациональных выражений , преимущественно дробно рациональных, – одному из ключевых вопросов курса алгебры для 8 классов. Сначала мы напомним, выражения какого вида называют рациональными. Дальше остановимся на проведении стандартных преобразований с рациональными выражениями, таких как группировка слагаемых, вынесение за скобки общих множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Наконец, научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных выражений

Рациональные выражения являются одним из видов выражений , изучаемых на уроках алгебры в школе. Дадим определение.

Определение.

Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и:, где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными выражениями .

Приведем несколько примеров рациональных выражений: .

Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями , то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены , а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений .

В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями . При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями ), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей .

Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем.

Основные виды преобразований рациональных выражений

С рациональными выражениями можно проводить любые из основных тождественных преобразований , будь то группировка слагаемых или множителей, приведение подобных слагаемых, выполнение действий с числами и т.п. Обычно целью выполнения этих преобразований является упрощение рационального выражения .

Пример.

.

Решение.

Понятно, что данное рациональное выражение представляет собой разность двух выражений и , причем данные выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть. Таким образом, мы можем выполнить приведение подобных слагаемых :

Ответ:

.

Понятно, что при проведении преобразований с рациональными выражениями, как, впрочем, и с любыми другими выражениями, нужно оставаться в рамках принятого порядка выполнения действий .

Пример.

Выполните преобразование рационального выражения .

Решение.

Мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках. Поэтому в первую очередь преобразуем выражение в скобках: 3·x−x=2·x .

Теперь можно подставить полученный результат в исходное рациональное выражение: . Так мы пришли к выражению, содержащему действия одной ступени – сложение и умножение.

Избавимся от скобок в конце выражения, применив свойство деления на произведение: .

Наконец, мы можем сгруппировать числовые множители и множители с переменной x, после чего выполнить соответствующие действия с числами и применить : .

На этом преобразование рационального выражения завершено, и в результате мы получили одночлен.

Ответ:

Пример.

Преобразуйте рациональное выражение .

Решение.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Такой порядок преобразования дробей объясняется тем, что черта дроби по своей сути есть другое обозначение деления, и исходное рациональное выражение по сути есть частное вида , а действия в скобках выполняются в первую очередь.

Итак, в числителе выполняем действия с многочленами, сначала умножение, затем – вычитание, а в знаменателе сгруппируем числовые множители, и вычислим их произведение: .

Еще представим числитель и знаменатель полученной дроби в виде произведения: вдруг возможно сокращение алгебраической дроби . Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов , а в знаменателе вынесем двойку за скобки, имеем .

Ответ:

.

Итак, начальное знакомство с преобразованием рациональных выражений можно считать состоявшимся. Переходим, так сказать, к самому сладкому.

Представление в виде рациональной дроби

Наиболее часто конечной целью преобразования выражений является упрощение их вида. В этом свете самым простым видом, к которому можно преобразовать дробно рациональное выражение, является рациональная (алгебраическая) дробь, и в частном случае многочлен, одночлен или число.

А любое ли рациональное выражение возможно представить в виде рациональной дроби? Ответ утвердительный. Поясним, почему это так.

Как мы уже сказали, всякое рациональное выражение можно рассматривать как многочлены и рациональные дроби, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Все соответствующие действия с многочленами дают многочлен или рациональную дробь. В свою очередь любой многочлен можно преобразовать в алгебраическую дробь, записав его со знаменателем 1 . А сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей в результате дают новую рациональную дробь. Следовательно, выполнив все действия с многочленами и рациональными дробями в рациональном выражении, мы получим рациональную дробь.

Пример.

Представьте в виде рациональной дроби выражение .

Решение.

Исходное рациональное выражение представляет собой разность дроби и произведения дробей вида . Согласно порядку выполнения действий мы сначала должны выполнить умножение, а уже потом – сложение.

Начинаем с умножения алгебраических дробей :

Подставляем полученный результат в исходное рациональное выражение: .

Мы пришли к вычитанию алгебраических дробей с разными знаменателями:

Итак, выполнив действия с рациональными дробями, составляющими исходное рациональное выражение, мы его представили в виде рациональной дроби .

Ответ:

.

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Представьте рациональное выражение в виде рациональной дроби.

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:

Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной

Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

Более быстрый способ

В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
2. Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}^{n}}}$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
3. По возможности сократить полученную дробь.

Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}^{n}}={{10}^{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

Ещё один пример:

Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}^{n}}={{10}^{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

Наконец, последний пример:

Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

Что делать с целой частью

На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]

Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]

В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

Преобразования «на слух»

Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.

А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.

Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому

А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]

Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.