Методы решения целых рациональных уравнений. Как решить рациональное уравнение

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Смирнова Анастасия Юрьевна

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма организации учебной деятельности : фронтальная, индивидуальная.

Цель урока: познакомить с новым видом уравнений - дробными рациональными уравнениями, дать представление об алгоритме решения дробных рациональных уравнений.

Задачи урока.

Обучающая:

• формирование понятия дробно рационального уравнения;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

• создать условия для формирования навыков применения полученных знаний;
• способствовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету;
• развитие у учащихся умения анализировать, сопоставлять и делать выводы;
• развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля, внимания, памяти, устной и письменной речи, самостоятельности.

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

Учебник «Алгебра 8». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение». 2010г.

На данную тему отводится пять часов. Данный урок является первым. Основное - изучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений и отработать этот алгоритм на упражнениях.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мне хотелось бы начать наш урок с четверостишия:
Что бы легче всем жилось,
Что б решалось, что б моглось,
Улыбнись, удачи всем,
Что бы не было проблем,
Улыбнулись друг другу, создали хорошее настроение и начали работу.

На доске написаны уравнения, посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (По формулам )
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Решение уравнений типа уравнения №7 мы рассмотрим на следующих уроках.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом - два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

• Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-6 - выражения с переменной .)
• Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
• Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить уравнение.
5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
6. Записать ответ.

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в); № 601(а,д). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 - посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 - посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

5. Постановка домашнего задания.

1. Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
3. Решить в тетрадях № 600(г,д); №601(г,з).

6. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами. Независимо от способа решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Целое выражение - это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое-либо число, отличное от нуля.

Понятие дробного рационального выражения

Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит также деление на выражения с буквенными переменными.

Рациональные выражения - это все целые и дробные выражения. Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая и правая части будут являться целыми выражениями, то такое рациональное уравнение называется целым.

Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

Примеры дробных рациональных выражений

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Схема решения дробного рационального уравнения

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Так как мы решаем дробные рациональные уравнения, то в знаменателях дробей будут переменные. Значит, будут они и в общем знаменателе. А во втором пункте алгоритма мы умножаем на общий знаменатель, то могут появится посторонние корни. При которых общий знаменатель будет равен нулю, а значит и умножение на него будет бессмысленным. Поэтому в конце обязательно делать проверку полученных корней.

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Будем придерживаться общей схемы: найдем сначала общий знаменатель всех дробей. Получим x*(x-5).

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Упростим полученное уравнение. Получим:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5.

Теперь производим проверку полученных решений:

Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель. При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 будет являться корнем исходного дробного рационального уравнения.

При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.

\(\bullet\) Рациональное уравнение - это уравнение, представимое в виде \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\] где \(P(x), \ Q(x)\) - многочлены (сумма “иксов” в различных степенях, умноженных на различные числа).
Выражение в левой части уравнения называется рациональным выражением.
ОДЗ (область допустимых значений) рационального уравнения – это все значения \(x\) , при которых знаменатель НЕ обращается в нуль, то есть \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Например, уравнения \[\dfrac{x+2}{x-3}=0,\qquad \dfrac 2{x^2-1}=3, \qquad x^5-3x=2\] являются рациональными уравнениями.
В первом уравнении ОДЗ – это все \(x\) , такие что \(x\ne 3\) (пишут \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\) ); во втором уравнении – это все \(x\) , такие что \(x\ne -1; x\ne 1\) (пишут \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\) ); а в третьем уравнении никаких ограничений на ОДЗ нет, то есть ОДЗ – это все \(x\) (пишут \(x\in\mathbb{R}\) ). \(\bullet\) Теоремы:
1) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, следовательно, уравнение \(f(x)\cdot g(x)=0\) равносильно системе \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ \text{ОДЗ уравнения} \end{cases}\] 2) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, следовательно, уравнение \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе уравнений \[\begin{cases} f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end{cases}\] \(\bullet\) Рассмотрим несколько примеров.

1) Решите уравнение \(x+1=\dfrac 2x\) . Найдем ОДЗ данного уравнения – это \(x\ne 0\) (так как \(x\) находится в знаменателе).
Значит, ОДЗ можно записать так: .
Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю: \[\dfrac{(x+1)\cdot x}x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2+x-2}x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2+x-2=0\\x\ne 0\end{cases}\] Решением первого уравнения системы будут \(x=-2, x=1\) . Видим, что оба корня ненулевые. Следовательно, ответ: \(x\in \{-2;1\}\) .

2) Решите уравнение \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\) . Найдем ОДЗ данного уравнения. Видим, что единственное значение \(x\) , при котором левая часть не имеет смысла – это \(x=0\) . Значит, ОДЗ можно записать так: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\) .
Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=2\\ &x=1\\ &x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=2\\ &x=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Действительно, несмотря на то, что \(x=0\) - корень второго множителя, если подставить \(x=0\) в изначальное уравнение, то оно не будет иметь смысла, т.к. не определено выражение \(\dfrac 40\) .
Таким образом, решением данного уравнения являются \(x\in \{1;2\}\) .

3) Решите уравнение \[\dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1}\] В нашем уравнении \(4x^2-1\ne 0\) , откуда \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , то есть \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

\(\dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2+4x-3+x+x^2}{4x^2-1}=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2x^2+5x-3}{4x^2-1}=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (2x-1)(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end{aligned}\end{gathered} \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x=-3\)

Ответ: \(x\in \{-3\}\) .

Замечание. Если ответ состоит из конечного набора чисел, то их можно записывать через точку с запятой в фигурных скобках, как показано в предыдущих примерах.

Задачи, в которых требуется решить рациональные уравнения, в ЕГЭ по математике встречаются каждый год, поэтому при подготовке к прохождению аттестационного испытания выпускникам непременно стоит самостоятельно повторить теорию по данной теме. Уметь справляться с такими заданиями обязательно должны выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень экзамена. Усвоив теорию и разобравшись с практическими упражнениями по теме «Рациональные уравнения», учащиеся смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Как подготовиться к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»?

Иногда найти источник, в котором полноценно представлена базовая теория для решения математических задач, оказывается достаточно сложно. Учебника может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно сложно даже в Интернете.

Образовательный портал «Школково» избавит вас от необходимости поиска нужного материала и поможет качественного подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Всю необходимую теорию по теме «Рациональные уравнения» наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, учащиеся смогут восполнить пробелы в знаниях.

Для успешной подготовки к ЕГЭ выпускникам необходимо не только освежить в памяти базовый теоретический материал по теме «Рациональные уравнения», но попрактиковаться в выполнении заданий на конкретных примерах. Большая подборка задач представлена в разделе «Каталог».

Для каждого упражнения на сайте наши специалисты прописали алгоритм решения и указали правильный ответ. Учащиеся могут практиковаться в решении задач различной степени сложности в зависимости от уровня подготовки. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Изучить теоретический материал и отточить навыки решения задач по теме «Рациональные уравнения», подобных тем, которые включены в тесты ЕГЭ, можно в режиме онлайн. В случае необходимости любое из представленных заданий можно добавить в раздел «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию по теме «Рациональные уравнения», старшеклассник сможет в дальнейшем вернуться к задаче, чтобы обсудить ход ее решения с преподавателем на уроке алгебры.

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе.

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\) \(=0\)
\(\frac{x}{2}\) \(+8x^2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

Выпишите и «решите» ОДЗ.

Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

Решите полученное уравнение.

Проверьте найденные корни с ОДЗ.

Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример . Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

Ответ: \(3\).

Пример . Найдите корни дробно-рационального уравнения \(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\) \(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\) \(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)		Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем \(x^2+7x+10\) на по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)		Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) \(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)		Сокращаем дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Раскрываем скобки
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Приводим подобные слагаемые
\(2x^2+9x-5=0\)		Находим корни уравнения
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\)		Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).